中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié)-關(guān)節(jié)10-圖形變換.doc

關(guān)節(jié)十圖形變換引出的計(jì)算與證明圖形（或部分圖形）經(jīng)“平移”、“軸對(duì)稱”或“旋轉(zhuǎn)”（包括中心對(duì)稱）之后，就會(huì)引起圖形形狀，位置關(guān)系的變化，就會(huì)出現(xiàn)新的圖形和新的關(guān)系。因此，圖形變換引出的問(wèn)題主要有兩類：一類是變換引出的新的性質(zhì)和位置關(guān)系問(wèn)題；另一類是變換引出的幾何量的計(jì)算問(wèn)題。一、圖形平移變換引出的幾何計(jì)算與證明 這類問(wèn)題的解法的思考應(yīng)當(dāng)突出兩點(diǎn)： 、把背景圖形研究清楚； 、充分運(yùn)用圖形平移的性質(zhì)，特別應(yīng)注意的是：“平移變換不改變角度”（即平移中的線和不平移的線，交角的大小不變）。兩者的恰當(dāng)結(jié)合，就是解法的基礎(chǔ)。ABCP例1 如圖，若將邊長(zhǎng)為的兩個(gè)互相重合的正方形紙片沿對(duì)角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個(gè)等腰直角三角形沿移動(dòng)，若重疊部分的面積是，則移動(dòng)的距離等于 ?！居^察與思考】第一，搞清楚背景圖形：和均為底邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形；第二，由平移搞清楚新圖形的特征：由于平移不改變角度，可知也是等腰直角三角形，這樣一來(lái)，即。解得而，。解：填?！菊f(shuō)明】可以看出，由背景和平移的性質(zhì)相結(jié)合得出為等腰直角三角形，是本題迅速獲解之關(guān)鍵。BCA（）FE例2 如圖（1），已知的面積為3，且現(xiàn)將沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到。（1）求所掃過(guò)的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若求AC的長(zhǎng)。（1）【觀察與思考】第一，搞清楚原圖形即的特征：面積為3，第二，搞清楚平移過(guò)程：平移沿CA方向進(jìn)行；平移距離為CA的長(zhǎng)度。注意！這就意味著每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離都等于CA，當(dāng)然就有。由此可知：（1）掃過(guò)的圖形即為菱形的兩條對(duì)角線；BCA（）FE（2）AF和BE就是菱形的兩條對(duì)角線；（3）的條件下，由求出AC的長(zhǎng)。（1）各問(wèn)題解法得到，落實(shí)如下：解：（1）如圖（1）掃過(guò)的圖形為菱形，而。（2）如圖（1），為菱形的兩條對(duì)角線，并且AF，BE互相平分。（3）若則，作于D，如圖（1），則，ACBD由,解得。（1）【說(shuō)明】由本題可以看出，原圖形背景和平移性質(zhì)的結(jié)合是解法獲得的基礎(chǔ)。ABEFPABABCD例3 如圖（1）所示，一張三角形紙片，。沿斜邊AB的中線CD把這線紙片剪成和兩個(gè)三角形如圖（2）所示。將紙片沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，在平移的過(guò)程中，與交于點(diǎn)E，與分別交于點(diǎn)F，P。（1）（2）（3）（1）當(dāng)平移到如圖（3）所示的位置時(shí)，猜想圖中與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。（2）設(shè)平移距離為，與重疊部分的面積為，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等于原紙片面積的？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！居^察與思考】第一，搞清楚背景圖形（即圖（2）所示的平移前的圖形），（略）第二，搞清楚平移過(guò)程：平移不改變角的大??；任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離都等于圖形平移的距離，按本題要求，平移距離滿足：。ABEFP對(duì)于問(wèn)題（1），注意到在圖（3）中有：和都是等腰三角形（由和為等腰三角形演變而來(lái)），以及（由圖中（2）的演變而來(lái)），相應(yīng)的猜想及證明都易得到；對(duì)于問(wèn)題（2），若在圖（3）中作輔助線：作交AB于，如圖（3），易知（圖（1）中）。（3）對(duì)于問(wèn)題（3），由（2）的結(jié)果構(gòu)造相應(yīng)的方程即可。解：（1），證明如下：，又是斜邊AB的中線（原圖（1）即。同理：又。（2）作交AB于，如圖（3），由（1）知。而，且它們的斜邊長(zhǎng)依次為。 其中。（3）令 即 ，解得所以存在,使重疊部分的面積為面積的，這時(shí)，平移的距離為或5?！菊f(shuō)明】從本題可以看出：、恰當(dāng)運(yùn)用平移變換的性質(zhì)（如角度不變）極為重要，這體現(xiàn)在問(wèn)題（1）的解法中。、充分而靈活運(yùn)用平移構(gòu)成的三角形相似很重要（由角度不變易造成相似），這體現(xiàn)在問(wèn)題（2）的解法中。圖形平移的問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于運(yùn)用好“平移變換”的性質(zhì)。二、圖形的軸對(duì)稱變換引出的計(jì)算與證明這類問(wèn)題解決的思考應(yīng)當(dāng)突出以下兩點(diǎn)：、把背景圖形研究清楚；、充分注意軸對(duì)稱的兩部分全等，對(duì)稱軸是任意對(duì)稱兩點(diǎn)連線的垂直平分線。兩者的恰當(dāng)結(jié)合，就是解法的基礎(chǔ)。圖形的軸對(duì)稱問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于運(yùn)用好“軸對(duì)稱變換”的性質(zhì)！ABCDNMQP例1 如圖（1），邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別為的中點(diǎn)，將點(diǎn)C折至MN上落在點(diǎn)P的位置，折痕為連結(jié)。（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)。（1）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：是正方形一組對(duì)邊的中點(diǎn)；第二，搞清楚軸對(duì)稱情況：除正方形外，本題還有兩組軸對(duì)稱圖形，一是和關(guān)于對(duì)稱；二是和關(guān)于MN對(duì)稱 ，如圖（1），由此立刻得是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形。ABCDNMQP有了如上的認(rèn)識(shí)，問(wèn)題的解法已明朗。解：（1）連結(jié)易知是等邊三角形，且其邊長(zhǎng)為1。（1）。（2）由（1）知又，。ABCDEF例2 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，把沿著EF對(duì)折，恰使點(diǎn)A落在BC上點(diǎn)D處，且使。（1）猜測(cè)AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。（2）求證：四邊形AEDF是菱形?！居^察與思考】第一，搞清楚背景圖形（略）；第二，搞清楚這個(gè)特殊的“折疊”（軸對(duì)稱）和新圖形的特點(diǎn)：（因它們關(guān)于EF對(duì)稱 ）。在中，得。這就是問(wèn)題（1）的結(jié)論和理由。而由，得，又，立刻推知和均是等邊三角形，四邊形AEDF當(dāng)然就是菱形。【說(shuō)明】在本題，從背景圖形和特殊折疊結(jié)合而得出的新圖形的性質(zhì)，成為解法形成的根據(jù)。例3 已知矩形紙片，。將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合。（1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（1），）求DE的長(zhǎng)。（2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（2），），的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)。ABCDEFGABCDEFG（2）（1）【觀察與思考】第一，背景圖形易搞清楚；第二，（1），（2）兩問(wèn)的折疊方式有差異。 對(duì)于（1）來(lái)說(shuō)，折痕一AD交于點(diǎn)F，立刻有；，且，由此即可求得DE的長(zhǎng)。ABCDEFGMN對(duì)于（2），對(duì)應(yīng)的圖形如圖（2），可知：的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，則也是FG的中點(diǎn)，且在矩形的中點(diǎn)連線上，而即是過(guò)該圓與BC相切切點(diǎn)的半徑；，由此可求得。進(jìn)而可求得FG的長(zhǎng)。解：在矩形中，（2）。在中，。（2）如圖（2），設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為，則以為圓心，以O(shè)A為半徑的圓就是的外接圓。若取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)OM并延長(zhǎng)交CB于點(diǎn)N。易知點(diǎn)N即和CB相切的切點(diǎn)，。設(shè)OA（即的半徑）為，則，在中，解得。在和中，即，得。【說(shuō)明】正是恰當(dāng)?shù)貙⒈尘皥D形和折疊（軸對(duì)稱）的性質(zhì)結(jié)合，使有關(guān)問(wèn)題（1）的數(shù)量關(guān)系集中于；使有關(guān)問(wèn)題（2）的數(shù)量關(guān)系集中于和（且它們又是相似的），使兩個(gè)問(wèn)題迅速獲解。例4 已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點(diǎn)E在AD上，且厘米，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過(guò)點(diǎn)P作交所在的直線于點(diǎn)Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無(wú)論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQ QE（填“”、“=”、“”號(hào) ）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）；當(dāng)厘米時(shí)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）；當(dāng)厘米時(shí)，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與形成一系列的交點(diǎn)，觀察，猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式。（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P）ABCDPEMNTQ（1）（2）（3）PM（A）BCDENO612182461218GF【觀察與思考】充分利用是PE的垂直平分線這一基本特征。解：（1）（2） （0，3）； （6，6）； 畫圖，如圖（3），設(shè)（3）與EP交于點(diǎn)F。在中，。（3）可以多取幾個(gè)P點(diǎn)，畫出相應(yīng)的Q點(diǎn)，易發(fā)現(xiàn)應(yīng)在同一條拋物線上，由該拋物線過(guò)點(diǎn)（0，3），（6，6），（12，15），可得其函數(shù)關(guān)系式為。由以上諸例的解法可以看出：圖形軸對(duì)稱變換的問(wèn)題，解決的關(guān)鍵就是把軸對(duì)稱的性質(zhì)（對(duì)稱 的圖形全等及對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線）和背景圖形的特征恰當(dāng)結(jié)合。三、圖形的旋轉(zhuǎn)變換引出的計(jì)算與證明這類問(wèn)題解決的思考應(yīng)當(dāng)遵循以下兩點(diǎn)：、把背景圖形研究清楚；、把圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角”和“旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的兩部分是全等的”。始終作為思考的指導(dǎo)。例1 如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后，得到，且為BC的中點(diǎn)，則等于（ ）ACBDA、 1：2 B、 C、 D、1：3【觀察與思考】聯(lián)合觀察背景圖形和旋轉(zhuǎn)后的圖形：（1）中，（旋轉(zhuǎn)角），所以，是等邊三角形；（2）由恰為BC之中點(diǎn)，知，即中，為斜邊BC上的中線。將（1），（2）結(jié)合，則在中，進(jìn)而在中，特別地還有。對(duì)圖形有了這些深入而具體的認(rèn)識(shí)，立刻得出：解：應(yīng)選D。【說(shuō)明】可以看出，從背景，旋轉(zhuǎn)兩者結(jié)合的角度深入研究新構(gòu)成的圖形，把握其各種隱性的特征，是迅速，正確地獲得解的關(guān)鍵。例2 將兩個(gè)含有銳角的全等直角三角板ABC和如圖擺放，兩個(gè)直角頂點(diǎn)C重合，AC和在同一條直線上，將三角板ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時(shí)針?lè)较蚍謩e旋轉(zhuǎn)到達(dá)，的位置。分別和相交于點(diǎn)。ACB求， 的值。【觀察與思考】（1）旋轉(zhuǎn)30時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖形如圖（1），結(jié)合背景圖形和旋轉(zhuǎn)的特征，得到中，解法已清楚。（2）旋轉(zhuǎn)45時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖形如圖（2），結(jié)合背景圖形和旋轉(zhuǎn)的特征，知道：中，立刻想到應(yīng)作于借助溝通兩個(gè)直角三角形和，解法也明朗了。C3030（3）旋轉(zhuǎn)60時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖形如圖（3），結(jié)合背景圖形和旋轉(zhuǎn)的特征，知道：在中，得，解法幾乎是顯然的。CCM（1）（2）（3）解：（1）旋轉(zhuǎn)30時(shí)，如圖（1），易知。在中，。（2）旋轉(zhuǎn)45時(shí)，如圖（2），作于在中，。在中，。（3）旋轉(zhuǎn)60時(shí)，如圖（3），在中，得，?！菊f(shuō)明】旋轉(zhuǎn)后的幾何計(jì)算問(wèn)題，多數(shù)情況下要借助旋轉(zhuǎn)后形成的“新圖形”，如本題的，而“新圖形”的特征正好集中著原背景圖形和所作旋轉(zhuǎn)的特性。掌握與恰當(dāng)運(yùn)用這一規(guī)律，就能又好又快地獲得問(wèn)題的解法。ABDCE例3 如圖，桌面內(nèi)，直線上擺放著兩個(gè)大小相同的直角三角板，它們中較小的直角邊的長(zhǎng)為6，較小銳角的度數(shù)為30。（1） 將關(guān)于直線對(duì)稱圖形的位置，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)證明：；（2）將沿直線向左平移到圖的位置，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，你可以求出平移的距離，試試看：（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)。ABDCEFABDCEFABDCE【觀察與思考】本題的三問(wèn)分別是針對(duì)圖形的“軸對(duì)稱”、“平移”和“旋轉(zhuǎn)”三種變換的。對(duì)于（1），將背景圖形的情況（數(shù)量、關(guān)系）和“軸對(duì)稱”（構(gòu)成全等）結(jié)合起來(lái)，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然結(jié)論就推出來(lái)了。對(duì)于（2），將原背景圖形的情況和“平移”的特征結(jié)合起來(lái)，容易發(fā)現(xiàn)和的相似關(guān)系，從中可以推知“平移”的距離。對(duì)于（3）將原背景圖形的情況和所作的特殊的“旋轉(zhuǎn)”使點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到恰好在邊上，由此不難找到所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度。解：（1）如圖，在和中，。（2） 如圖，但。即平移距離（3） 如圖，在中，在上， 且（因，可知為斜邊的中線。，即，旋轉(zhuǎn)的角度?！菊f(shuō)明】從本題進(jìn)一步看出：圖形作軸對(duì)稱變換時(shí)，多是研究“全等”（相等）關(guān)系；圖形作平移變換時(shí)，多會(huì)出現(xiàn)“相似”關(guān)系；圖形作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，更多的是著眼于“角度”。這既是問(wèn)題構(gòu)成的特征，當(dāng)然也是尋找解決時(shí)的思考應(yīng)遵循的規(guī)律。ABCDMEGHF例4 如圖，已知正方形與正方形的邊長(zhǎng)分別是和，它們的中心都在直線上，在直線上，與相交于點(diǎn)，當(dāng)正方形沿直線以每秒1個(gè)單位的速度向左平移時(shí)，正方形也繞以每秒45順時(shí)針?lè)较蜷_始旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，它們的形狀和大小都不改變。（1）在開始運(yùn)動(dòng)前， ；（2）當(dāng)兩個(gè)正方形按照各自的運(yùn)動(dòng)方式同時(shí)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，正方形停止旋轉(zhuǎn)，這時(shí) ； ；（3）當(dāng)正方形停止旋轉(zhuǎn)后，正方形繼續(xù)向左平移的時(shí)間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式?！居^察與思考】對(duì)于（1），。對(duì)于（2），這時(shí)點(diǎn)在上點(diǎn)的右側(cè)，且，點(diǎn)到的距離為，即。對(duì)于（3），應(yīng)把運(yùn)動(dòng)全過(guò)程搞清楚：ABCDEGHFABCDEGHF（1）（2）ABCDEGHF（3）陰影部分的面積情況可分為四段，如圖（1），圖（2），圖（3），還有圖（3）后的兩正方形不相交的情況，它們的分界點(diǎn)在，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為。然后分段計(jì)算出陰影正方形的面積即可。簡(jiǎn)解： （1）9； （2）0，6；（3）（1）如圖（1），當(dāng)時(shí)，所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為。（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為。（3）如圖（3），當(dāng)時(shí)，所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為。（4）當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為?！菊f(shuō)明】本題突出了按變換分析圖形及研究位置關(guān)系，只有把這兩個(gè)方面研究清楚了，才可能有正確的解決方法。由以上的解析使我們體會(huì)到：解答關(guān)于圖形變換的問(wèn)題，應(yīng)注意兩個(gè)角度的“結(jié)合”：第一個(gè)角度，要充分而恰當(dāng)?shù)貙⒈尘皥D形的性質(zhì)和變換本身的性質(zhì)相結(jié)合，這樣才容易看清楚新圖形的性質(zhì)；第二個(gè)角度，要充分而恰當(dāng)?shù)貙D形的操作與關(guān)系的推演相結(jié)合，很多情況正是圖上的操作才更容易展示變換的全貌和分類、分段情況的。可以說(shuō)，許多幾何圖形都是從圖上“看出”其性質(zhì)的，而后才通過(guò)計(jì)算或證明予以解決的。 練習(xí)題1、將圖（1）中的平行四邊形沿對(duì)角線剪開，再將沿著方向平移，得到圖（2）中的，連結(jié)，除與外，你還可以在圖中找出哪幾對(duì)全等三角形（不能另外添加輔助線和字母）？請(qǐng)選擇其中的一對(duì)加以證明。ABCABCD（2）（1）2、如圖，矩形中，將矩形沿對(duì)角線平移，平移后的矩形為始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)停止移動(dòng)，平移中與交于點(diǎn)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)與交于點(diǎn)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)設(shè)表示的面積。表示矩形的面積。（1）與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）設(shè)寫出和之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出取任何值時(shí)有最大值，最大 值是多少？ABDCPEFGHNMQ（3）連結(jié)，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形。3、如圖（1）中，矩形的長(zhǎng)和寬分別為和，點(diǎn)和點(diǎn)重合，和在一條直線上，令不動(dòng)，矩形沿所在的直線向右以每秒1的速度移動(dòng)（如圖（2），直到點(diǎn)與點(diǎn)重疊為止，設(shè)移動(dòng)秒后，矩形與重疊部分的面積為。求之間的函數(shù)關(guān)系式。ABCDMNP2ABCD（M）NP2（1）（2）4、如圖，在矩形中，若將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)為（ ）ABCDEFA、 B、 C、 5 D、 6ABCDEF5、如圖，已知邊長(zhǎng)為5的等邊三角形紙片，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，沿著折痕，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)的位置，且則的長(zhǎng)是（ ）A、 B、 C、 D、6、在矩形紙片中，。沿