工程數(shù)學(xué)第一章習(xí)題解答煤炭出版社.pdf

第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與輻角。 （1） i 23 1 + ； （2） i1 3i i 1 ； （3）( )() 2i 5i24i3+ ； （4） i4ii 218 + 解 （1） ()() ()2i3 13 1 2i32i3 2i3 2i3 1 = + = + 所以 13 3 = +i23 1 Re， 13 2 2i3 1 Im= + , ()2i3 13 1 2i3 1 += + ， 13 13 13 3 13 3 2i3 1 22 = + = + ， k2 i23 1 arg i23 1 Arg+ + = + ?, 2, 1, 0,2 3 2 arctan=+=kk （2） () () () ()i, 2 5 2 3 3i3 2 1 i i)(1i1 i13i ii i i1 3i i 1 =+= + + = 所以 , 2 3 i1 3i i 1 Re= 2 5 i1 3i i 1 Im= 2 5 i 2 3 i1 3i i 1 += ， 2 34 2 5 2 3 i1 3i i 1 22 = + = ， k2 i1 i3 i 1 arg i1 i3 i 1 Arg+ = ?,=,+=2102 3 5 arctankk. （3） ()()()()() ( )() ()() 4 2i7i26 2i2i 2i5i24i3 2i 5i24i3 = + = + 13i 2 7 2 26i7 = = 所以 ()() 2 7 2i 5i24i3 Re= + ， ()() 13 2i 5i24i3 Im= + ， 1 ()() l3i 2 7 2i 5i24i3 += + ()() 2 295 2i 5i24i3 = + ， ()()()() kk2 7 26 arctan22 i2 i52i43 arg i2 i52i43 Arg+=+ + = + ()?, 2, 1, 0,12 7 26 arctan=+=kk. （4）( )( )()()ii141iii4ii4ii 104 10 2 4 2218 +=+=+ 3i1i4i1=+= 所以 3i4iiIm1,i4iiRe 218218 =+=+ 3i1i4ii 218 += +，10| i4ii | 218 =+ ()()()2k3i1arg2ki4iiargi4iiArg 218218 +=+=+ =.2,1,0,k2karctan3?=+ 2如果等式 () i1 3i5 3yi1x += + + 成立，試求實(shí)數(shù) x, y 為何值。 解：由于 ()()() ()()3i53i5 3i53yi1x 3i5 3yi1x + + = + + ()()()() 34 3y51x3i3y31x5+ = ()i1185y3xi43y5x 34 1 +=+= 比較等式兩端的實(shí)、虛部，得 =+ =+ 341853 34435 yx yx 或 =+ =+ 5253 3835 yx yx 解得11, 1=yx。 3證明虛單位i有這樣的性質(zhì)：-i=i-1=i。 4證明 2 1)| 11 6)Re( )(),Im( )() 22i zzz zzzzz = z=+= ? 2 證明：可設(shè)izxy=+，然后代入逐項(xiàng)驗(yàn)證。 5對(duì)任何，是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對(duì)那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：設(shè)，則要使成立有 izxy=+ 2 |zz= 222 2ixyxyx+=+ y0，即。由此可得為實(shí)數(shù)。 2222, xyxyxy=+=z 6當(dāng)時(shí)，求的最大值，其中 n 為正整數(shù)，a 為復(fù)數(shù)。 1|z|azn+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且當(dāng) n a ez arg i =時(shí)，有 ()|a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ =+|11 argiargi arg i 故為所求。 |1a+ 8將下列復(fù)數(shù)化成三角表示式和指數(shù)表示式。 （1）i； （2）-1； （3）1+3i； （4）()0isincos1+； （5） i1 2i + ； （6）( ) ()3 2 isin3cos3 isin5cos5 + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2） i eisincos1=+= （3） 3 i 2e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1= += +=+； （4） 2 1 cosisin2sini2sincos2sinsinicos 222222 +=+=+ )(0,e 2 2sin 2 isin 2 cos 2 2sin 2 i = + = ； （5）() = + 2 1 i 2 1 2i1i12i 2 1 i1 2i = 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 （6） () () () () 2 23 i5i3i10i9i19 3 cos5isin5 e/ ee/ee cos3isin3 + = = 3 isin19cos19+= 9將下列坐標(biāo)變換公式寫成復(fù)數(shù)的形式： 1）平移公式： 11 11 , ; xxa yyb =+ =+ 2）旋轉(zhuǎn)公式： 11 11 cossin, sincos . xxy yxy = =+ 解：設(shè) 11 iAab=+， 11 izxy1=+，izxy=+，則有 1）；2） 1 zzA=+ i 11 (cosisin)ezzz =+=。 10一個(gè)復(fù)數(shù)乘以-i，它的模與輻角有何改變？ 解： 設(shè)復(fù)數(shù)， 則 z ezz Argi | =() =| = 2 Argi 2 i Argi z z |z|eeeziz， 可知復(fù)數(shù)的模不變， 輻角減少 2 。 11證明：，并說(shuō)明其幾何意義。 222 121212 |2(|zzzzzz+=+ 2 | ) 證明： 22 121212121212 1122 22 12 |()()()( 2() 2(| ) zzzzzzzzzzzz z zz z zz +=+ =+ =+ ) 其幾何意義平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度平方的和等于四個(gè)邊的平方的和。 12證明下列各題： 1）任何有理分式函數(shù) ( ) ( ) ( ) P z R z Q z =可以化為iXY+的形式，其中X與Y為具 有實(shí)系數(shù)的x與的有理分式函數(shù)； y 2）如果( )R z為 1）中的有理分式函數(shù)，但具有實(shí)系數(shù)，那么( )iR zXY=； 3）如果復(fù)數(shù)iab+是實(shí)系數(shù)方程 1 011 0 nn nn a za zaza +=? 的根，那么也是它的根。 iab 證 1） ( )( ) ( )Re( ( ) ( )Im( ( ) ( ) ( ) ( )( , )( , )( ) ( ) P zP z Q zP z Q zP z Q z R z Q zq x yq x yQ z Q z =+; 2） ( )( )( ) ( )ii ( )( )( ) P zP zP z R zX Q zQ zQ z YXY=+= ; 3）事實(shí)上 ( ) 1 011 nn nn P za za zaza =+? 4 ( )zPzazazaa n n =+=? 2 210 13如果，試證明 it ez = （1）nt z z n n cos2 1 =+； （2）nt z z n n sini2 1 = 解 （1）nteeee z z n n sin2 1 intintintint =+=+=+ （2）nteeee z z n n sini2 1 intintintint = 14求下列各式的值 （1）( 5 i3 )； （2）()6i1+； （3） 6 1； （4）() 3 1 i1 解 （1）()() 6/5i 5 6/i 5 5 322 2 i 2 3 2i3 = =ee 55 32 cosisin16 316i 66 =+= （2）() () 6 6 6 i /43 i/2 1i 1 i22e8e8i 22 +=+= 。 （3） () () 1 i 21 /6i+2 6 6 1ee,0,1,2,3,4,5 kk k + =?？芍?6 1的 6 個(gè)值分別是 , 2 i 2 3 e /6i += ie /2i = ， 2 i 2 3 ei /65i += 2 i 2 3 e /6i7 = ，i 23i = / e 2 i 2 3 411i = / e。 （4）()()0,1,2=,= 2 2 1 2=1 3 + 3 1 / 3 1 3 1 kee k 2 4 i 64i 22 i i。 可知的 3 個(gè)值分別是 () 1/3 1 i , 12 7 sini 12 7 cos22 , 12 sini 12 cos22 612/7i6 62/i6 += = e e += 4 5 sini 4 5 cos22 64/5i6 e。 15若(1 i)(1 i) nn +=，試求n的值。 5 解 由題意即 i/4i/4i/4i/4 ( 2e)( 2e) ,ee nnnn =，sin， 0 4 n = 故4 ,0, 1, 2,nk k= ?。 16 （1）求方程的所有根 08 3 =+z （2）求微分方程08 =+ yy的一般解。 解 （1）() () 1 i1 2 3 3 82 k ze + = =，k=0,1,2。 即原方程有如下三個(gè)解： ,3i1+ , 2 3i1。 （2）原方程的特征方程有根08 3 =+i31 1 +=，2 2 =，i 31 3 =，故其 一般形式為 ()xCxCeeCy xx 3sin3cos 32 2 1 += 17在平面上任意選一點(diǎn)，然后在復(fù)平面上畫出下列各點(diǎn)的位置： z 1 11 , ,z zz z zz 。 o x y z -z z z 1 z 1 z 1 z 18已知兩點(diǎn)與（或已知三點(diǎn)）問(wèn)下列各點(diǎn)位于何處？ 1 z 2 z 321 ,zzz （1）() 21 2 1 zzz+= （2）() 21 1zzz+=（其中為實(shí)數(shù)） ； （3）() 321 3 1 zzzz+=。 解 令1,2,3i=+=,kyxz kkk ，則 （1） 2 i 2 2121 yyxx z + + + =，知點(diǎn) z 位于與連線的中點(diǎn)。 1 z 2 z 6 （2）()() 122122 iyyyxxxz+=， 知點(diǎn)位于與連線上定比 1 z 2 z |z|z |z|z 12 1 = 處。 （3）()( 321321 3 i 3 1 yyyxxxz+=)，由幾何知識(shí)知點(diǎn) z 位于的重心 處。 321 zzz 19設(shè)三點(diǎn)適合條件： 123 ,z zz0 321 =+zzz, 1 321 =zzz。證明z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓1=z的一個(gè)正三角形的頂 點(diǎn)。 證 由于1 321 =zzz，知的三個(gè)頂點(diǎn)均在單位圓上。 321 zzz 因?yàn)?2 33 1zz= 3 z ()() 212322112121 zzzzzzzzzzzz+=+= 2121 2zzzz+= 所以，1 2121 =+zzzz，又 )()( 122122112121 2 21 zzzzzzzzzzzzzz+= ()32 2121 =+=zzzz 故 3 21 =zz， 同理3 3231 =zzzz， 知 321 zzz是內(nèi)接于單位圓1=z 的一個(gè)正三角形。 20如果復(fù)數(shù)z1，z2，z3滿足等式 32 31 13 12 zz zz zz zz = 證明 321312 zzzzzz=，并說(shuō)明這些等式的幾何意義。 由等式得 )arg()arg()arg()arg( 32311312 zzzzzzzz= 即 231312 zzzzzz=。又因?yàn)?() () () () 12 32 3213 3112 13 12 zz zz zzzz zzzz zz zz = + + = 又可得 123312 zzzzzz=，所以知 321 zzz是正三角形，從而 321312 zzzzzz=。 7 21指出下列各題中點(diǎn) z 的存在范圍，并作圖。 （1）|5； （2）|z= 61| i 2|+z； （3）Re(2)1z += ； （4）( )3iRe=z； （5）| i| i|=+zz； （6）4| 1|3|=+zz （7）Im( )2z ； （8）1 2 3 z z ； （9）0argzz41 z； （3）1Re0z y O x 不包含實(shí)軸的上半平面，是無(wú)界的、開(kāi)的單連通區(qū)域。 （2）41 z x y 5 O 1 圓的外部（不包括圓周） ，是無(wú)界的、開(kāi)的多連通區(qū)域。 16) 1( 22 =+yz （3）01Re ，當(dāng) zf即點(diǎn)),(zUz時(shí)， 則。 30設(shè) 0)(zf 0 lim( ) zz f zA=，證明 ( )f z在的某一去心鄰域內(nèi)是有界的。 證 取 0 z 1=，則存在0，當(dāng) 0 0 |zz時(shí)，|( )| 1f zA。故在 0 0 |zz內(nèi)，|( )| |( )| |( )| 1 |f zf zAAf zAAA=+ +。 31設(shè) 1 ( ),(0) 2i zz f zz zz = 試證當(dāng)時(shí)0z ( )f z的極限不存在。 證 2 x 2 12 ( )