微分學(xué)備考2011年一級注冊結(jié)構(gòu)工程師基礎(chǔ)考試[突破建筑類考試.ppt

,1.2.1 極限與函數(shù)的連續(xù),1.2.2 導(dǎo)數(shù)與微分,1.2 微分學(xué),1.2.4 導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用,1.2.1 極限與函數(shù)的連續(xù),1. 函數(shù),定義:,定義域,值域,設(shè),函數(shù)為特殊的映射:,其中,定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。,函數(shù)的特性,有界性 ,單調(diào)性 ,奇偶性 ,周期性,復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),有限個常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算與,復(fù)合而成的一個表達(dá)式的函數(shù).,例如. 函數(shù),2 極限,極限定義的等價形式,(以 為例 ),(即 為無窮小),極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則,無窮小,無窮小的性質(zhì) ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,兩個重要極限,重點(diǎn)：求極限的基本方法,洛必達(dá)法則,例1. 求下列極限：,提示:,令,3. 連續(xù)與間斷,函數(shù)連續(xù)的定義,函數(shù)間斷點(diǎn),第一類（左右極限存在）,第二類（左右極限至少有一個不存在）,可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例2. 設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,有無窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無窮間斷點(diǎn),所以,為可去間斷點(diǎn) ,極限存在,例3. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,1.2.2 導(dǎo)數(shù)和微分,導(dǎo)數(shù) 定義:,當(dāng),時,為右導(dǎo)數(shù),當(dāng),時,為左導(dǎo)數(shù),微分 :,關(guān)系 :,可導(dǎo),可微,導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率,1. 有關(guān)概念,例4.設(shè),在,處連續(xù),且,求,解:,2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法,正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 （要求記住?。㏄10,隱函數(shù)求導(dǎo)法,參數(shù)方程求導(dǎo)法,高階導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）,例5. 求由方程,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo),得,因 x = 0 時 y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),例6.,求,解:,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),1.2.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,1. 多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo),2. 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo),注意正確使用求導(dǎo)符號,3. 隱函數(shù)求偏導(dǎo),將其余變量固定，對該變量求導(dǎo)。,4. 全微分,5. 重要關(guān)系:,例7. 求,解法1:,解法2:,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,解：設(shè),則,例8. 設(shè),1.2.4 導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,柯西中值定理,函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法,若,定理 1. 設(shè)函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),2. 研究函數(shù)的性態(tài):,極值第一判別法,且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),極值第二判別法,二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,例9. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,例10. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,例11. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點(diǎn)只一個,故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;,(2) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .,設(shè)函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù),凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn),例12. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,解:,1) 求,2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,對應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及,均為拐點(diǎn).,凹,凹,凸,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例13. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增