幾類不同增長的函數(shù)模型（一）課件.ppt

Wednesday, September 4, 2019,（一）,3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型,【教學重點】,【教學目標】,【教學難點】,課程目標,【教學手段】,多媒體電腦與投影儀,將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義,怎樣選擇數(shù)學模型分析解決實際問題.,借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，對指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長狀況進行比較，初步體會它們的增長差異性； 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異性,在理想環(huán)境中,種群數(shù)量呈指數(shù)增長;在有限制的環(huán)境中,種群數(shù)量的增長將由指數(shù)增長轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shù)增長,并逐漸趨于穩(wěn)定.那么,應如何選擇不同的函數(shù)模型描述這些現(xiàn)象呢？,問題情景,問題情景,假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？,閱讀課本95 97頁例1，邊閱讀邊思考下面的問題：,【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案？,在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？,構(gòu)建數(shù)學,探究一,投資天數(shù)、回報金額,解:設(shè)第x天所得回報是 y元，則,方案一：,方案二：,方案三：,在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？,探究一,上述的三個數(shù)學模型,第一個是常數(shù)函數(shù),另兩個都是遞增的函數(shù)模型,你如何對三個方案作出選擇？,方法1:我們來計算三種方案所得回報的增長情況：,探究二,請同學們對函數(shù)增長情況進行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.,根據(jù)表格中所提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？,三種方案每天回報表,底數(shù)為2 的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多.從中你對“指數(shù)爆炸”的函數(shù)有什么新的理解？,你能通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？,方法2：我們來作出三種方案的三個函數(shù)的圖象：,結(jié)論: 投資16天,應選擇方案一; 投資7天,應選擇方案一或二; 投資810天,應選擇方案二; 投資11天(含11天)以上,則應選擇方案三.,回報,天數(shù),方案,累計回報表：,方案一,方案二,方案三,你30天內(nèi)給公司的回報為:,0.01+0.012+0.0122+ +0.01229,300萬元,解答:公司30天內(nèi)為你的總投資為:,情景問題解答,假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？,=10737418.231074(萬元).,1074-300=774 (萬元).,實際應用問題,分析、聯(lián)想 抽象、轉(zhuǎn)化,構(gòu)建數(shù)學模型,解答數(shù)學問題,審 題,數(shù)學化,尋找解題思路,還原,(設(shè)),(列),(解),(答), 解答例1的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程,建立函數(shù)模型的程序大概如下：,【例2】某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？,本問題涉及了哪幾類函數(shù)模型？本問題的實質(zhì)是什么？, 一次函數(shù)模型,實質(zhì):分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響，就是比較三個函數(shù)的增長情況,y=0.25x,y=log7 x +1, 對數(shù)函數(shù)模型, 指數(shù)函數(shù)模型,y=1.002x,探究一,銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵,且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元,所以銷售利潤x可用不等式表示為_.,依據(jù)這個模型進行獎勵時,獎金不超過利潤的25%,所以獎金y可用不等式表示為_.,依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元,所以獎金y可用不等式表示為_.,10x1000,0y5,0y25%x,你能用數(shù)學語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎?,探究二,你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎？,獎勵模型符合公司要求就是依據(jù)這個模型進行獎勵時,符合條件： (1)獎金總數(shù)不超過5萬元； (2)獎金不超過利潤的25%.,因此,在區(qū)間10,1000上,不妨作出三個函數(shù)模型的圖象,通過觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結(jié)論,再通過具體計算確認結(jié)果.,探究三,400,600,800,1000,1200,200,1,2,3,4,5,6,7,8,x,y,o,y=5,y=0.25x,探究四,通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？,探究四,通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？,對于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1000上遞增, 當x20時,y5,因此該模型不符合要求;,探究四,通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？,對于模型y=1.002x,它在區(qū)間10,1000上遞增, 觀察圖象并結(jié)合計算可知,當x806時,y5,因此該模型不符合要求.,探究四,通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？,對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間10,1000上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當x=1000時, y=log71000+14.555,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.,按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？,解:當x10,1000時, 要使y0.25x成立,令f(x)= log7x+1-0.25x,當x10,1000時是否有f(x) 0恒成立?,即當x10,1000時,f(x)= log7x+10.25x的 圖象是否在x軸下方?,作f(x)= log7x+1-0.25x的圖象如下：,只需log7x+10.25x 成立，,即log7x+1-0.25x 0.,探究五,根據(jù)圖象觀察, f(x)=log7x+1-0.25x的圖象在區(qū)間10,1000內(nèi)的確在x軸的下方.,這說明,按模型y=log7x+1獎勵,獎金不會超過利潤的25%.,由圖象知 f(x) 在10,1000上為減函數(shù).,說明當x10,1000時,有,.,另解:作出f(x)的圖象(利用計算機).,綜上按對數(shù)函數(shù)模型獎勵符合公司提出的要求.,按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？,探究五,即獎金不會超過利潤的25%.,從以上兩個例子，我們看到對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在第一區(qū)間的增長是有差異的，下面用幾何畫板來觀察它們的差異,探究六,問題情景,對數(shù)函數(shù)y=logax (a1),冪函數(shù)y=xn (n0)與指數(shù)函數(shù)y = ax (a 1)在區(qū)間(0,+)上都是增函數(shù),但它們的增長是有差異的.那么這種差異的具體情況到底是怎樣呢?,以函數(shù)y = 2x , y=log2x , y=x2為例.,探究一,制作函數(shù)值表(借助計算器制表).,觀察表格,三個函數(shù)的增長速度是不同的.,總體來講隨著x的增大, y=log2x的增長速度最慢; y = 2x和y=x2的增長速度有變化,一開始, y = 2x的增長速度快,后來y=x2增長速度快.,y=log2x,y=x2,y = 2x,探究一,畫函數(shù)圖象(描點或借助計算機作圖).,觀察圖象可以看出:三個函數(shù)的增長速度是不同的,你能根據(jù)圖象分別標出不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范？,(1) 04時,(2) 2 x 4時,2,4,問題(1)如何求函數(shù) 在(0,+)的零點?,觀察函數(shù)y = 2x 與 y=x2之間的增長情況,探究二,觀察函數(shù)y = 2x 與 y=x2之間的增長情況,從函數(shù)圖象可以看出,y=2x與y=x2的圖象有兩個交點,表明2x與x2在自變量的不同的區(qū)間有不同的大小關(guān)系,有時2xx2,有時2xx2但當x越來越大時, 2x的增長速度遠快于x2.,問題(2)觀察圖象,試求出可使下列不等式成立的x的取值范圍.,(1)04時,(2)2x4時,探究二,答:在區(qū)間(0,+)上,盡管對數(shù)函數(shù)y=logax (a1),指數(shù)函數(shù)y = ax (a 1)與冪函數(shù)y=xn (n0) 都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.,隨著x的增大, y = ax (a 1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn (n0)的增長速度,而y=logax (a1)的增長速度則會越來越慢.因此總存在一個x0,當 x x0時,就會有,3. 冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)增長速度的一般結(jié)論,結(jié)論1: 的增長快于 的增長，所以存在一個 ，使x 時,有 . 結(jié)論2: 的增長快于 的增長，所以存在一個 ，使x 時,有 . 結(jié)論3：在區(qū)間（0，+）上，函數(shù) (a1） （a1), (n0)都是增函數(shù)， 但它們的增長速度不同。隨著x的增大 (a1） 的增長速度越來越快，遠遠大于 （n0) 的增長速度，而 (a1)的 增長速度則越來越慢，因此，會存在一個 ，當 時，有,探究以函數(shù) 為例.,思考:你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0a1),y=ax(0a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上衰減情況嗎?,結(jié)論:在區(qū)間(0,+)上,盡管對數(shù)函數(shù)y=logax (0a1), y = ax (0a1)與y=xn (n0) 都是減函數(shù),但它們的衰減速度不同,而且不在同一個“檔次”上.,隨著x的增大, y=logax (0a1)的衰減速度越來越快,會超過并遠遠大于y = ax (0a1)的衰減速度,而y=xn (n0)的衰減速度則會越來越慢. 因此總存在一個x0,當 x x0時,就會有,3.你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0a1), y=ax(0a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上衰減情況嗎?,【1】四個變量y1, y2, y3, y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：,1.005,1.0151,1.0461,1.1407,1.4295,2.3107,5,155,130,105,80,55,30,5,33733,1758.2,94.478,5,4505,3130,2005,1130,505,130,5,30,25,20,15,10,5,0,關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_.,(練習P.981),練一練,練一練,【2】某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機.現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有多少臺計算機被感染？(練習P.982),2.答案:第5輪病毒發(fā)作時最多會有160萬臺被感染,練習P.981，2,1.答案：y2,練一練,課堂小結(jié),確定函數(shù)模型,利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型,體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義,布置作業(yè),(1)課本P.39A 5,(2)學案P.27-28,P.39 2,探究創(chuàng)新,再見,山東省臨沂一中,例2、,探究：公司有哪些要求，你能用 數(shù)學語言表達出來嗎？,某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個獎勵模