多元正態(tài)分布參數(shù)估計.ppt

一、多元正態(tài)分布參數(shù)估計,1. 樣本,多元分析的任務根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來分析各變量之間的關系，推斷總體的性質(zhì)。,多元樣本數(shù)據(jù),為一元樣本,2. 樣本平均值,樣本平均值是n個 點的重心,例題：,計算均值、離差陣、協(xié)方差和相關陣,3. 樣本離差(平方乘積和)矩陣S,計算離差陣,(樣本協(xié)方差) (樣本方差),4. 樣本協(xié)差陣,6. 樣本相關矩陣R,R為非負定矩陣,-樣本相關系數(shù),變量的線性組合的樣本值,計算 和 均值方差與協(xié)方差,7. 二組樣本的協(xié)方差矩陣,8. 總體均值和協(xié)方差矩陣的最大似然估計,設,用最大似然法求出的均值和協(xié)方差的估計量分別為,9.基本性質(zhì),1）,是總體均值的無偏估計,2）,是總體協(xié)方差的無偏估計,分別是總體均值和協(xié)差陣的有效估計,是總體均值和協(xié)差陣的一致估計估計,3）,4）,和,和,和,10. 定理 設,和 S 分別是正態(tài)總體,樣本均值和離差陣，則,和 S 相互獨立,1）,2）,3）,二、多元統(tǒng)計中常用的分布,在一元統(tǒng)計中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元統(tǒng)計中，他們分別發(fā)展為Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11 分布和Wishart分布,定義1 設 為 相互獨立且同服從于 分布的隨機變量。則 (1) 所服從的分布叫做 分布， 稱為自 由度且記為 。,定理2. 由(1)式定義的隨機變量的分布密度函數(shù)為,定理3. 設 ， 且 與 相互獨立，則,推論2 設 是抽自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量,Wishart分布 它是多元樣本離差平方和矩陣的分布,定義1 設 為 相互獨立且同服從于 分布 ，令 則 (1) 所服從的分布叫做 自由度為 的p維 維希特分布，記作,顯然，當p=1 時，有,Wishart分布像卡方分布一樣具有加法性質(zhì)，若 相互獨立，則,設 ，且 與 相互獨立，則稱隨機變量 服從自由度為 的 分布， 記為 。 將T平方，即,三 分布與 分布,在多元統(tǒng)計中 分布是一元統(tǒng)計中t分布的推廣,定義：若 ， S與X相互獨立、稱隨機變量 是自由度為（p，n）的 分布 可以轉(zhuǎn)化為F分布,Hotelling,四、 分布與Wilks分布 定義3 設 ， ，且 與 相互獨立，則稱隨機變量 服從自由度為 的 分布， 記為 。,F分布事實上為從正態(tài)總體隨機抽取的兩個樣本方差的比，在方差分析和回歸分析中廣泛使用,描述 的變異程度的統(tǒng)計參數(shù)稱為廣義方差，其定義有很多 如,F統(tǒng)計量的推廣是 統(tǒng)計量,定義：若,相互獨立，則稱隨機變量 的分布是自由度為(p,n1,n2)的 分布,第三章 假設檢驗 1、 已知時單總體均值向量的檢驗,設從總體XNP(,)中隨機抽取了一個容量為n的樣本 ，得到的無偏估計為 檢驗 是否等于已知向量 。即,，,由于,由正態(tài)分布與卡方分布的關系得,構造檢驗統(tǒng)計量為,具體步驟是： 作統(tǒng)計假設 計算樣本的均值 計算統(tǒng)計量T的具體值T0 按規(guī)定的小概率標準，查卡方分布表Ta，得臨界值，并作出判斷 當T0 Ta ，接受H0，拒絕H1，即認為 與 沒有顯著差異。 當T0 Ta ，接受H1 ，拒絕H0 ，即認為 與 有顯著差異。,2、未知時均值向量的檢驗,在一元統(tǒng)計理論中，當方差未知時，取檢驗統(tǒng)計量為,推廣到多元，考慮統(tǒng)計量,其中樣本均值,樣本離差陣,故由T2分布定義知,其中,利用T2與F分布的關系，檢驗統(tǒng)計量取為,具體步驟是： 作統(tǒng)計假設：， 計算樣本均值和樣本協(xié)方差 由公式計算F統(tǒng)計量具體值F0。 按規(guī)定的顯著水平，查F分布臨界值，并作出判斷： 當 接受H0，拒絕H1； 當 拒絕H0，接受H1。,例1 某小麥良種的四個主要經(jīng)濟性狀的理論值為 現(xiàn)在從外地引入一新品種，在21個小區(qū)種值，取得數(shù)據(jù)如表：,設新品種的四個性狀服從正態(tài)，試檢驗假設,3,查F表，得F0.05(4,17) = 2.96，因為 故拒絕H。,3、兩總體協(xié)差陣相等（但未知）時均值向量的檢驗,當P = 1時，因 且相互獨立，在H0成立條件下，有,，,推廣到P元總體，可以得到形式類似的統(tǒng)計量T2：,XNP(1,),YNP(2,),其中,具體步驟： 作統(tǒng)計假設：， 計算樣本均值和，樣本離差陣。 由公式計算統(tǒng)計量具體值F。 按規(guī)定的顯著水平，查F分布臨界值 當 接受H0，拒絕H1； 當 拒絕H0，接受H1。,4、 已知時，均值的置信域,從一元統(tǒng)計中我們已經(jīng)了解到，均值假設檢驗問題本質(zhì)上也等價于均值的置信區(qū)間,假設 來自P元正態(tài)總體NP(,)由前面討論知,在任給置信度，查卡方分布臨界值表得滿足,則均值向量,的置信度為,的置信域為,該置信域是一個中心在,橢球。當檢驗,時，若,落在該置信域內(nèi)，即,，則在顯著水平,下，接受H0；若,沒有落入該置信域內(nèi)，則否定H0。所