《線性多步法》PPT課件.ppt

8.4 線性多步法,8.4.2 基于Taylor展開(kāi)的方法,8.4.2 基于Taylor展開(kāi)的方法,8.4.1 基于數(shù)值積分的方法,8.4 線性多步法,常微分方程初值問(wèn)題（8.1.1）的數(shù)值解法中，除了Runge-Kutta型公式等單步法之外，還有另一種類型的解法，即某一步的公式不僅與前一步解的值有關(guān)，而且與前若干步解的值有關(guān)，利用前面多步的信息預(yù)測(cè)下一步的值，這就是多步法的基本思想，可以期望獲得較高的精度。構(gòu)造多步法有多種途徑，下面先討論基于數(shù)值積分的方法。,8.4.1 基于數(shù)值積分的方法,如推導(dǎo)Newton-Cotes求積公式一樣，用等距節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式來(lái)替代被積函 數(shù)，再對(duì)插值多項(xiàng)式積分，這樣就得到一系列求積公式。 例如，用梯形方法計(jì)算積分項(xiàng),代入（8.4.1）式有,據(jù)此即可導(dǎo)出公式（8.1.4）。 一般地，設(shè)由 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) 構(gòu)造插值多項(xiàng)式 ，這里， 。運(yùn)用插值 公式有,將（8.4.1）離散化即得下列計(jì)算公式,（8.4.2）,其中,由此可得（8.4.2）中的系數(shù)，其具體數(shù)值見(jiàn)表8-6。公式（8.4.2）是一個(gè)r+1 步的顯式公式，稱為Adams顯式公式。r=0時(shí)，即為Euler公式。,應(yīng)用實(shí)例： 考慮跳傘員的下落速度。 自由落體運(yùn)動(dòng)可用牛頓第二定律描述：F=ma。實(shí)驗(yàn)表明，空氣阻力模型 為 ，其中 ，比例系數(shù) k 依賴于物體的大小、形狀，空氣 的密度和粘度。跳傘員下落的速度可描述為下列模型：,負(fù)號(hào)表示下降。顯然，當(dāng) 1 p 2 時(shí)，適合于數(shù)值方法求解。 設(shè) k / m =1.5，g=32，先用中點(diǎn)法提供開(kāi)始值，再用下列兩步而階方法,求其他需要計(jì)算的值。當(dāng) p=1 時(shí)，取 h=0.2 有,可見(jiàn)，三秒末跳傘員的末速度約有 21 。 若將模型修改為 p=1.1，取 h=0.2，則有計(jì)算結(jié)果：,可見(jiàn)三秒末跳傘員的末速度減慢了。計(jì)算結(jié)果如下圖所示,+ 表示 p=1時(shí)的解，* 表示 p=1.1時(shí)的解,在上述Adams顯式公式的推導(dǎo)中，選用了 作為插值 節(jié)點(diǎn)。這樣的插值多項(xiàng)式 在求積區(qū)間 上逼近 是一 個(gè)外推結(jié)果。為了改善逼近效果，我們變外推為內(nèi)推，即改用 為插值節(jié)點(diǎn)，用數(shù)據(jù)點(diǎn) 構(gòu)造插值 多項(xiàng)式 ，則有,于是我們有如下的計(jì)算公式,（8.4.3）,其中,其具體數(shù)值見(jiàn)表 8-7。公式（8.4.3）是隱式公式，稱為 Adams隱式公式。 r=0，1時(shí)分別為隱式 Euler公式和梯形公式。,對(duì)于隱式公式（8.4.3），需要用迭代求解。確定 的迭代公式為,迭代收斂條件為 ，其中 的Lipschitz常數(shù) 利用插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)，可以求出 Adams方法的局部截?cái)嗾`差。當(dāng)然 也可以從得到的顯式和隱式 Adama公式，有局部截?cái)嗾`差的定義來(lái)求出方 法的局部截?cái)嗾`差。表 8-8中列出了它們的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)，有表 8-8 可以看出，Adams隱式方法的局部截?cái)嗾`差要小。,8.4.2 基于Taylor展開(kāi)的方法,當(dāng) 時(shí)，則（8.4.4）為顯式多步式。當(dāng) 時(shí)，（8.4.4）為隱式多 步式。它們的局部截?cái)嗾`差為,現(xiàn)利用Taylor展開(kāi)定理，確定線性多步公式（8.4.4）中的待定參數(shù) ， 使她達(dá)到 階精度，即 。 對(duì)（8.4.5）式的右端各項(xiàng)在 點(diǎn)處作Taylor展開(kāi)有,將它們代入（8.4.5）式整理后得,而且得到線性多步法的局部截?cái)嗾`差,由于 r=3，p=4 ，由（8.4.6）得到5個(gè)方程，而（8.4.7）中有9個(gè)為知量， 因此，（8.4.7）中有4個(gè)自由度。 若取 ，由（8.4.6）式得到其他5個(gè)待定參數(shù)的 方程組，解之得,若 取 ，由（8.4.6）式得到其他5個(gè)待定參數(shù)的 方程組，解之得,由此構(gòu)造成著名的四步四階顯式Milne公式和它的余項(xiàng),若取 ，求解（8.4.6）得著名的三步四階隱式 Hamming公式及其余項(xiàng)：,若取 ，求解（8.4.6）得到隱式Simpson公式及其 余項(xiàng)：,例8.5 分別取 h=0.2，2，用四階顯式 Milne公式和四階隱式 Hamming公式 求解例8.4所給的初值問(wèn)題。 解 我們用單步法提供多步法的初值。由4階經(jīng)典R-K公式為Milne公式提 供初值 ，為 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2時(shí)的 計(jì)算結(jié)果及準(zhǔn)確解之間的誤差分別列于表8-9和表8-10。 從表8-9看出，兩種多步法的計(jì)算精度都很高，Hamming公式化比 Milne公 式更精確。這是因?yàn)?Hamming公式的截?cái)嗾`差主項(xiàng)的系數(shù)比 Milne公式小。從 表8-10看到，當(dāng)計(jì)算步長(zhǎng)變大后，顯式多步法 Milne公式的計(jì)算結(jié)果誤差增大， 不穩(wěn)定，而隱式多步法 Hamming公式的計(jì)算結(jié)果仍然是穩(wěn)定的，這說(shuō)明隱式公 式的穩(wěn)定性比同階的顯式公式好。,表8-9,表 8-10,經(jīng)典R-K法和上述四階線性多步法公式都是四階精度，但每前進(jìn)一步，前 者要計(jì)算4次微分方程右端方程，而后者只要計(jì)算一次新的右端函數(shù)值，計(jì)算 量減小了。,8.4.3 預(yù)估-校正算法 顯式多步法容易計(jì)算，但其精度和穩(wěn)定性沒(méi)有相應(yīng)的隱式方法好。然而， 隱式多步法需解方程，如果初值選得不當(dāng)，則計(jì)算量較大。因此，設(shè)法選取好 的迭代初值是必要的。初值的自然選取是采用同階顯式多步法計(jì)算得到的解作 為隱式方法迭代的初值。這樣，迭代次數(shù)不會(huì)多。若只迭代一次，則這樣的算 法就是預(yù)估-校正算法。對(duì)于線性多步法，常用的預(yù)估校正方法有四階 Admas 顯隱式預(yù)估-校公式和 Milne-Hamming 方法。,1.Adams 預(yù)估-校正公式 由（8.4.9）式作為預(yù)估公式，由（8.4.13）式作為校正公式，構(gòu)成 Adams 預(yù)估- 校正公式：,若需作進(jìn)一步的修正，則記上式所得的 ，由（8.4.10）和 （8.4.14）式有,于是得到,由此可見(jiàn)，若記,則 分別比 更好。但注意到， 的表達(dá)式中， 是未知的，因此改為,在計(jì)算時(shí)，可調(diào)節(jié)計(jì)算步長(zhǎng) h ，使 ，其中 是 要求達(dá)到的計(jì)算精度。初值 由同階單步法提供，當(dāng)計(jì)算 時(shí)， 可取 。,2. 修正Hamming公式 將 Milne 公式（8.4.11）和 Hamming 公式（8.4.15）結(jié)合，構(gòu)成 Milne- Hamming 預(yù)估-校正公式：,若需作進(jìn)一步的修正，則記上式所得的 ，由（8.4.12）和（8.4.16） 有,從而構(gòu)成如下的修正 Hamming 公式：,在計(jì)算時(shí)，可調(diào)節(jié)計(jì)算步長(zhǎng) h ，使 。初值 由同階單步法提供，當(dāng)計(jì)算 時(shí)，可取 。,例8.6 取 h=0.2，用 Milne-Hamming 預(yù)估-校正公式和修正 Hamming 公 式求解例8.4所給的初值問(wèn)題。 解 用經(jīng)典 R-K