線方程組的求解.ppt

線性方程組的求解,中國青年政治學(xué)院 鄭艷霞,使用建議：建議教師具備簡單的MATHMATICA使用知識。 課件使用學(xué)時：4學(xué)時 面向?qū)ο螅何目平?jīng)濟(jì)類本科生 目的：掌握線性方程組的知識點學(xué)習(xí)。,假設(shè)在美國某一固定選區(qū)國會選舉的投票結(jié)果用三維向量表示為,假設(shè)一次選舉中結(jié)果為,確定下一次和再下一次可能結(jié)果。,每次選舉得票情況的變化為,我們用上述類型的向量每兩年記錄一次國會選舉的結(jié)果，同時每次選舉的結(jié)果僅依賴前一次選舉的結(jié)果。,對于給出的選舉變化情況，我們可以用一個矩陣進(jìn)行表達(dá),一般地，總可以由這次的選舉結(jié)果和下一次選舉的轉(zhuǎn)移情況 得到下一次選舉的結(jié)果：,于是下一次和再下一次可能結(jié)果為：,表示第j個黨向第i個黨轉(zhuǎn)移的比例,假設(shè)選舉得票情況的變化是恒定P, 問從現(xiàn)在開始經(jīng)過多年 若干選舉之后,投票者可能為共和黨候選人投票的百分比是多少？,若P是一個矩陣，滿足各列向量均非負(fù)，且各列向量紙盒等于1，則相對于P的穩(wěn)定向量必滿足：Pq=q?？梢宰C明每一個滿足上述條件的矩陣，必存在一個穩(wěn)定向量；并且，若存在整整數(shù)k，使得Pk0,則P存在唯一的向量q滿足條件。,即方程組(P-I)x=0的解，就是我們需要的結(jié)果。,齊次線性方程組,1. 齊次線性方程組（2）有解的條件,定理1：齊次線性方程組 有非零解,定理2：齊次線性方程組 只有零解,有解的條件 解的性質(zhì) 基礎(chǔ)解系 解的結(jié)構(gòu),2. 解的性質(zhì),（可推廣至有限多個解）,解向量：每一組解都構(gòu)成一個向量,性質(zhì)：若 是齊次線性方程組Ax=0的解，,則 仍然是齊次線性方程組Ax=b的解。,3. 基礎(chǔ)解系,線性無關(guān)；,證明分三步:,1. 以某種方法找 個解。,注：,(2) 證明過程提供了一種求解空間基（基礎(chǔ) 解系）的方法。,(3) 基（基礎(chǔ)解系）不是唯一的。,稱為通解。,4. 解的結(jié)構(gòu),的通解是,最終大約有的選票被共和黨人得到.,r(P-I)=23,解決我們的問題：,利用軟件求解,因此齊次線性方程組的解為：,再由問題的實際意義可知：要求向量的各 分量均非負(fù)，且滿足： 。 因此只能取k0。再將求出的解進(jìn)行歸一， 就得到了滿足條件的解，此時的解是唯一的。,一棟大的公寓建筑使用模塊建筑技術(shù)。每層樓的建筑設(shè)計由3種設(shè)計中選擇。A設(shè)計每層有18個公寓，包括3個三室單元，7個兩室單元和8個一室單元；B設(shè)計每層有4個三室單元，4個兩室單元和8個一室單元；C設(shè)計每層有5個三室單元，3個兩室單元和9個一室單元。設(shè)該建筑有x層采取A設(shè)計，y層采取B設(shè)計，z層采取C設(shè)計。,（2）寫出向量的線性組合表示該建筑包含的三室、兩室和一室單元的總數(shù)。,（3）是否可能設(shè)計出該建筑，使恰有66個三室、74個兩室和136一室單元？如可能的話，是否有多種方法？說明你的答案。,解答（1）表示當(dāng)建筑x層采取A設(shè)計時，包括三室 單元，兩室單元和一室的公寓數(shù)目。,（3）問題轉(zhuǎn)化為：求非負(fù)整數(shù)x,y,z滿足：,也就是非求齊次線性方程組 的解的問題。,非齊次性線性方程組,1. 有解的條件,定理3：非齊次線性方程組,有解,分析:,3. 解的結(jié)構(gòu),是（1）對應(yīng)的齊次線性方程組 的通解。,2. 解的性質(zhì),性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,由此可得 ， 因此該非齊次線性方程組有解，且基礎(chǔ)解系含有一個向量。,進(jìn)行計算：,利用軟件求解,房屋設(shè)計問題的解答,由問題的實際意義可知，方程組通解中k可以取值為0、