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第二章 一階微分方程的初等解法,2.1 變量分離方程與變量變換,先看例子：,定義1,形如,方程,稱為變量分離方程.,一、變量分離方程的求解,這樣變量就“分離”開(kāi)了.,例：,分離變量:,兩邊積分:,注:,解:,積分得:,故方程的所有解為:,解:,分離變量后得,兩邊積分得:,整理后得通解為:,解:,將變量分離后得,兩邊積分得:,由對(duì)數(shù)的定義有,即,故方程的通解為,例4,解:,兩邊積分得:,因而通解為:,再求初值問(wèn)題的通解,所以所求的特解為:,二、可化為變量分離方程類型,（I）齊次方程,(I) 形如,方程稱為齊次方程,求解方法:,解:,方程變形為,這是齊次方程,即,將變量分離后得,兩邊積分得:,即,代入原來(lái)變量,得原方程的通解為,解:,方程變形為,這是齊次方程,將變量分離后得,兩邊積分得:,整理后得,變量還原得,故初值問(wèn)題的解為,(II) 形如,的方程可經(jīng)過(guò)變量變換化為變量分離方程.,分三種情況討論,為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.,這就是變量分離方程,作變量代換(坐標(biāo)變換),則方程化為,為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.,解的步驟:,解:,解方程組,將變量分離后得,兩邊積分得:,變量還原并整理后得原方程的通解為,注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.,此外,諸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分離變量后得,兩邊積分得,變量還原得通解為,三、應(yīng)用舉例,例8、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過(guò)程中它始終為球體，該雪球在開(kāi)始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。,解:,根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得,分離變量并積分得方程的通解為,由初始條件得,代入得雪球的體積隨時(shí)間的

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