高等代數(shù)課件(北大版)第五章二次型§.ppt

2019/7/18,數(shù)學與計算科學學院,第五章 二次型,5.1 二次型的矩陣表示,5.2 標準形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小結與習題,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,一、正定二次型,二、正定矩陣,三、n元實二次型的分類,5.4 正定二次型,四、小結,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,、正定二次型,則稱f 為正定二次型.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,2、正定性的判定,1）實二次型 正定,2）設實二次型,f 正定,證：充分性顯然. 下證必要性，若 f 正定，取,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,經過非退化線性替換 XCY 化成,則，,3）非退化線性替換不改變二次型的正定性.,任取一組不全為零的數(shù) 令,證明：設正定二次型,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,所以，非退化線性替換不改變二次型的正定性.,同理，若 正定，則 正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,秩 n （ 的正慣性指數(shù)）.,變成標準形,由2), 正定,即， 的正慣性指數(shù)pn秩 .,數(shù)學與計算科學學院,規(guī)范形為,5）正定二次型 的標準形為,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,二、正定矩陣,1、定義 設A為實對稱矩陣，若二次型,正定二次型的規(guī)范形為,是正定的，則稱A為正定矩陣.,2、正定矩陣的判定,2) 實對稱矩陣A正定,1）實對稱矩陣A正定 A與單位矩陣E合同.,A與E合同,即存在可逆矩陣C，使,可見，正定矩陣是可逆矩陣.,存在可逆矩陣C，使,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,3）實對稱矩陣A正定 A與任一正對角矩陣合同.,即，D與E合同.,為任一正對角矩陣，則,若,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,例1、設 A 為 n 階正定矩陣，證明,（5）若 B 亦是正定矩陣，則 AB 也是正定矩陣；,（2） 是正定矩陣；,（1） 是正定矩陣；,（3） 是正定矩陣；,（4） 是正定矩陣（m為任意整數(shù)）；,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,證：,（1）由于 A 正定，則存在可逆矩陣 P，使,于是有，,故， 正定.,（2）由于A 正定，對 都有,因此有,令,故， 正定.,即， 與單位矩陣E合同.,則Q可逆，且,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,，由（1）（2）即得 正定.,當 m2k 時，,即， 與單位矩陣E合同，所以 正定.,（4）由于 A 正定，知 為 n 階可逆對稱矩陣 ，,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,（5）由于A、B正定，對 都有,因此有,故，AB 正定.,當 m2k1 時，,即， 與正定矩陣A合同，而 A與單位矩陣E合同，,所以 與E合同，即 正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,3、正定矩陣的必要條件,1）實對稱矩陣 正定,取,正定.,證：若A正定 ，則二次型,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,反之不然. 即， 為對稱矩陣，且,但A未必正定. 如,所以A不是正定的.,注意,當 時，有,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,2) 實對稱矩陣A正定,但 不是正定二次型.,如,注意,證：若A正定，則存在可逆矩陣C ，使,從而,反之不然. 即實對稱矩陣A，且 A未必正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,4、順序主子式、主子式 、,稱為A為第k階順序主子矩陣;,設矩陣,稱為A的第k階順序主子式.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,3） k 級行列式,稱為A的一個k 階主子式.,即行指標與列指標相同的k階子式,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,5、（定理6）,A的順序主子式 Pk 全大于零.,證:必要性.設 正定，對每一個k,令,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,是正定的，從而 正定.,對任意一不全為零的數(shù) 有,充分性： 對n作數(shù)學歸納法.,n1時， 正定. 結論成立.,假設對于n1元二次型結論成立，下證n元的情形.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,又A的順序主子式全大于零，所以A1的順序主子式,由歸納假設，A1正定，即存在可逆矩陣G，使,令,則,也全大于零.,設,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,則,令,再令,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,由判定充要條件3). 知A正定，所以 正定.,再令,則有,兩邊取行列式，得,又 0 ，,即 為正對角矩陣.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,例2、判定下面二次型是否正定.,其順序主子式,正定.,解： 的矩陣,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,解： 的矩陣,A的第k階順序主子式Pk,（習題7）,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,例3、證明：若實對稱矩陣A正定 ，則A的任意一個,k 階主子式,證：作二次型,（習題9）,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,其中，,對任意一不全為零的數(shù) , 有,從而，,由于 A 正定，有 正定，即有,行列式大于零，即,即， 是正定二次型，因此其矩陣的,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,三、n元實二次型的分類,設n元二次型, ，則 稱為半正定二次型., ，則 稱為半負定二次型., 則 稱為負定二次型.,既不是半正定，也不是半負定，則 稱為,1定義,不定二次型.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,注：,正定矩陣 負定矩陣 半正定矩陣 半負定矩陣 不定矩陣,相應于二次型的分類，n 級實對稱矩陣可分類為：,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,1）實二次型 正定,負定；,實對稱矩陣A正定 A負定.,半負定；,2）實二次型 半正定,實對稱矩陣A半正定 A半負定.,2、判定,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,3） 定 理 7, 半正定 ；,( 或 A半正定； ), 秩 = 秩(A) = （正慣性指數(shù)）；, A合同于非負對角陣，即存在可逆陣C，使,則下列有條件等價：, 存在 ，使, A的所有主子式皆大于或等于零.（補充題9）,由此可得， A半正定,（習題14）,設n元實二次型,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,四、小結,1、正定（負定、半正定、半負定、不定）二 次型；,基本概念,2、順序主子式、主子式,正定（負定、半正定、半負定、不定）矩陣；,基本結論,1、非退化線性替換保持實二次型的正定（負定、,半正定、半負定、不定）性不變.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學與計算科學學院,負定（半負定）.,2、實二次型 正定（半正定）,3、實二次型 f (x1,x2,xn)XAX 正定,A 與 E 合同，即存在可逆陣C，使ACC .,f 的正慣性指數(shù) p 等于 n,A