控制系統(tǒng)的根軌跡法分析.ppt

4-4 控制系統(tǒng)的根軌跡法分析,一、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定的系統(tǒng)，其閉環(huán)特征根必須全部位于s平面左半側，而且在s平面左半側距虛軸距離越遠，其相對穩(wěn)定性越好。 根軌跡正好直觀地反映了系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上隨參數(shù)變化的情況，因此，由根軌跡很容易了解參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)變化范圍。,例:設某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*取值范圍。,解：利用根軌跡的繪制法則(過程從略)可繪出K*從0變化到 時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。 由圖可見，當0K*14及64K*195時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而當14K*64及K*195時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,把參數(shù)在一定范圍內取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)叫條件穩(wěn)定系統(tǒng)。如前面所舉的例子中的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能不十分可靠，實際工作中，應盡量通過參數(shù)的選擇或適當?shù)男Ｕ椒ㄏ龡l件穩(wěn)定的問題。,二、控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析,利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)根軌跡增益或其它開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)改變時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其暫態(tài)性能的變化情況。,例：典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳函為,當變化時，作出系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。,閉環(huán)系統(tǒng)的極點為,圖中阻尼角與阻尼比的關系為,根據根軌跡我們可以確定系統(tǒng)工作在根軌跡上任一點時所對應的，n 值，再根據暫態(tài)指標的計算公式,可得到系統(tǒng)工作在該點的暫態(tài)性能。反過來，我們也可以根據系統(tǒng)暫態(tài)指標的要求，確定系統(tǒng)特征根的位置。,方法：,（1）根據超調量的要求先求出阻尼角，再從原點以阻尼角引二條射線。 （2）根據調節(jié)時間的要求，計算出n 在s平面上畫出s的直線。由此確定滿足系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的區(qū)域。,若在該區(qū)域內沒有合適的根軌跡，則應在系統(tǒng)中加入極點、零點合適的校正裝置以改變根軌跡的形狀，使根軌跡進入該區(qū)域。然后確定滿足要求的閉環(huán)極點位置及相應的開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)值。,例：單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,若要求閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應的最大超調量%18%，試確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。,解：繪出 K由零變化到時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。當K17時，根軌跡在實軸上有分離點。當K240時，閉環(huán)極點是不穩(wěn)定的。根據%18 %的要求，求得阻尼角應為60，在根軌跡圖上作60 的射線，并以此直線和根軌跡的交點A ，B作為滿足性能指標要求的閉環(huán)系統(tǒng)主導極點，即閉環(huán)系統(tǒng)主導極點為,由根軌跡方程的幅值條件，可求得相應于 A，B 點的 K*值為,再計算出系統(tǒng)的開環(huán)增益為,根據閉環(huán)極點之和等于常數(shù)的性質，可求得系統(tǒng)另一閉環(huán)實極點為,它將不會使系統(tǒng)超調量增大，故取K 1.85可滿足要求。,三、 開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響,增加開環(huán)零點將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應性能，下面以三階系統(tǒng)為例來說明。 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 如果在系統(tǒng)中增加一個開環(huán)零點，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?下面來研究開環(huán)零點在下列三種情況下系統(tǒng)的根軌跡。,1. ，設 ，則相應系統(tǒng)的根軌跡如圖b)所示。由于增加一個開環(huán)零點，根軌跡相應發(fā)生變化。 從根軌跡形狀變化看，系統(tǒng)性能的改善不顯著，當系統(tǒng)增益超過臨界值時，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開環(huán)放大系數(shù)和臨界頻率都有所提高。,2. ，設 ，相應的根軌跡如圖c）所示,此時系統(tǒng)的開環(huán)增益取任何值時系統(tǒng)都將穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，如設計得合適，系統(tǒng)將有兩個共軛復數(shù)極點和一個實數(shù)極點，并且共軛復數(shù)極點距虛軸較近，即為共軛復數(shù)主導極點。在這種情況下，系統(tǒng)可近似看成一個二階欠阻尼比系統(tǒng)來進行分析。 3. ，設 ，相應系統(tǒng)根軌跡如圖 d）所示。 在此情況下，閉環(huán)復數(shù)極點距離軸較遠，而實數(shù)極點 卻距離軸較近，這說明系統(tǒng)將有較低的瞬態(tài)響應速度。,從以上三種情況來看，一般第二種情況比較理想，這時系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)主導極點，其瞬態(tài)響應性能指標也比較滿意。 可見，增加開環(huán)零點將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點的方向發(fā)生變形。如果設計得當，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應性能指標均可得到顯著改善。在隨動系統(tǒng)中串聯(lián)超前網絡校正，在過程控制系統(tǒng)中引入比例微分調節(jié)，即屬于此種情況。,四、開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡的影響,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其對應的系統(tǒng)根軌跡如圖 a）所示。 若系統(tǒng)增加開環(huán)極點，開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?其相應的根軌跡如圖 b）所示。,五、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比，開環(huán)增益與根軌跡增益之間又有確定的比例關系，即,在根軌跡上確定滿足暫態(tài)性能的閉環(huán)極點后，可由根軌跡的幅度條件計算出 K* 值，然后由上式求得開環(huán)增益K*。若該 K*值不滿足系統(tǒng)提出的穩(wěn)態(tài)性能要求時，可采用增加開環(huán)系統(tǒng)的極、零點的方法來解決。,如下圖所示，設在開環(huán)系統(tǒng)中增加一對極點比零點更接近原點的實數(shù)極、零點pc和zc(稱為偶極子)，這一對實數(shù)極、零點對離原點較遠的A，B點附近根軌跡形狀及A，B點的K*值影響很小，但卻使開環(huán)增益增加D倍，D zc /pc ，從而使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能得到提高。,小 結,根軌跡是以開環(huán)傳遞函數(shù)中的某個參數(shù)（一般是根軌跡增益）為參變量而畫出的閉環(huán)特征方程式的根軌跡圖。根據系統(tǒng)開環(huán)零.極點在s平面上的分布，按照表所列出的規(guī)則，就能方便的畫出根軌跡的大致形狀。 根軌跡圖不僅使我們能直觀的看到參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響，而且還可以用它求出指定參變量或指定阻尼比相對應的閉環(huán)極點。根據確定的閉環(huán)極點和已知的閉環(huán)零點，就能計算出 系統(tǒng)的輸出響應及其性能指標，從而避免了求解高階微分方程的麻煩。,例:已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡； （2）計算當增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比= ，并求此時系統(tǒng)的特征根；,（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點。,解：（1）畫根軌跡 畫根軌跡其它問題略。 根軌跡的分離點和會合點為：根據公式,N(s) D(s) N(s)D(s) 0,可得,解得,因此，分離點為-2.93，會合點為-17.07。 分離角和會合角分別 為 ，,根軌跡為圓，如下圖所示。,習題,（2）當,時，阻尼角,，表示,角的直線,代入特征方程整理后得,為OB，其方程為 ，,令實部和虛部分別為零，有,解得,由圖可知，當k=5時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，,特征根為,。,（3）對于分離點-2.93，由幅值條件可知,對于會合點-17.07，有,由根軌跡圖可知，當,的負實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。當,時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。,時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負,時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等,當,瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。,實數(shù)極點，,由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線 OB與負實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由（1）可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為 。,。,1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制系統(tǒng)的根軌跡。,（P102413）,解：,（1）起點：有三個開環(huán)極點，所以起點為 （2）終點：因沒有有限零點，所以三條根軌跡都將趨于無窮遠。 （3）實軸上的根軌跡：根軌跡存在的區(qū)間為（，0。 （4）實軸上無分離點與會合點。 （5）根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角：根據漸近線計算公式得,漸近線的交點：根據公式計算得,習題與作業(yè),根據以上分析計算結果，可繪制出系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。,（6）根軌跡與虛軸的交點。 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程,把s=j代入上式并分別令實部和虛部為零得,解得,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,解：,系統(tǒng)特征方程為 ，,利用根軌跡繪制法則，可以繪出當從零變化到無窮大時等效系統(tǒng)的根軌跡。,也可寫成,（1）起點： s1 -1+j3，s2 -1-j3。