連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì).ppt

,第八節(jié),一、最值定理與有界性,二、介值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第二章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點(diǎn) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推論(有界性定理).,由定理 1 可知有,證: 設(shè),上有界 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,說明：定理1的條件不滿足,結(jié)論不一定有,如,證:,例1. 證明: 若,令,則給定,當(dāng),時(shí),有,又,根據(jù)有界性定理, 使,取,則,在,內(nèi)連續(xù),存在, 則,必在,內(nèi)有界.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2. ( 零點(diǎn)定理 ),至少有一點(diǎn),且,使,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 證明略 ),二、介值定理,2)定理提供了判斷 根的存在性的,新方法.,說明,例1. 證明方程,一個(gè)根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,說明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點(diǎn),內(nèi)必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,則,例2.,至少有一個(gè)不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明：,例3 設(shè),證,若記,由于,因此, 若,則問題得證.,若,則由零點(diǎn)存在定理,即,定理3. ( 介值定理 ),設(shè),且,則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn),證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),使,即,使,至少有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,（1）開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),（2）閉區(qū)間上的不連續(xù)函數(shù) (仍用此例)。,上嚴(yán)格單調(diào)，,則介值定理中的 唯一；,說明,3),則f(x)可以取到它最大值M,與最小值 m 之間的一切值. (推論),根據(jù)最值定理 ,例4,證,根據(jù)最值定理推論,于是,上連續(xù) , 且恒為正 ,例5. 設(shè),在,對(duì)任意的,必存在一點(diǎn),證:,使,令, 則,使,故由零點(diǎn)定理知 , 存在,即,當(dāng),時(shí),取,或, 則有,證明:,小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),在,上達(dá)到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當(dāng),時(shí),使,必存在,上有界;,在,在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明至少存在,使,提示: 令,則,易證,1. 設(shè),一點(diǎn),2. 設(shè),且,則在(a , b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，,使得,提示: 設(shè),易證,利用零點(diǎn)定理即可得證.,3. 任給一張面積