偏微分方程離散-差分格式-差分方法等.ppt

1,（三）偏微分方程的數值離散方法,3.1 有限差分法 3.2 有限體積法 (有限元，譜方法，譜元，無網格，有限解析，邊界元，特征線）,2,3.1 有限差分法,3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的構造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理論基礎 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全離散方法,3,3.1.1 模型方程的差分逼近,4,3.1.2 差分格式的構造,5,3.1.3 差分方程的修正方程,差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程 對于時間發(fā)展方程，利用展開的方程逐步消去帶時間的高階導數，只留空間導數。 Warming-Hyett方法： 差分方程(2)寫成算子的形式：,6,3.1.3 差分方程的修正方程 (續(xù)),7,3.1.3 差分方程的修正方程(續(xù)),8,3.1.4 差分方法的理論基礎,相容性，穩(wěn)定性，收斂性 等價性定理 Fourier穩(wěn)定性分析,9,3.1.4 差分方法的理論基礎（續(xù)）,Fourier (Von Neumann) 穩(wěn)定性分析,10,3.1.4 差分方法的理論基礎（續(xù)）,Fourier (Von Neumann) 穩(wěn)定性分（續(xù)） 稱為CFL條件 (Courant, Friedrichs, Levy),11,3.1.5 守恒型差分格式,流體力學方程組描述物理量的守恒性；守恒律組： 定義,12,3.1.5 守恒型差分格式（續(xù)）,守恒性質： 非守恒的差分格式一般沒有對應于原始守恒律的“離散守恒律”。,13,3.1.5 守恒型差分格式（續(xù)）,守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的，且當時間和空間步長趨于零時，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數，則這個收斂的函數就是守恒律的一個弱解。 推論：守恒型差分各式的收斂解能自動滿足間斷關系。 用途: (加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式,14,3.1.6 偏微分方程的全離散方法,對差分格式的一般要求： 有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質、化學反應等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動能、正組分濃度等) 主要指非定常方程的時間離散,15,3.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）,兩層格式 Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 時空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多層格式 Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點隱格式,16,3.1.6.1 兩層格式,Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法,17,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 一步LW格式,18,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式 兩步LW格式 常系數Jacobian時與單步LW等價。但計算更簡單，不涉及矩陣相乘。,19,3.1.6.1 兩層格式(cont.）,Mac Cormack 格式 (1969) 兩步格式 比LW更簡單，不需要計算函數在半點上的值。 LW兩步格式和MC各式的缺點：定常解的誤差依賴于時間步長。,20,Mac Cormack格式的構造,21,3.1.6.2 三層格式,Leap-Frog格式 Adams-Bashforth格式,22,第二課后閱讀提示,傅德薰計算流體力學，3.1 3.3 水鴻壽一維流體力學數值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6,23,作業(yè)2,1.用Fourier法分析 3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。 2.分析前面3.1.6節(jié)中Mac Cormack格式是幾階精度。,24,3.2有限體積法,出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標、柱坐標、球坐標） 以控制體為離散量 計算體積分和面積分需要適當的插值公式和積分公式 (quadrature formula) 適用于任意形狀的網格，復雜幾何形狀 缺點：難以構造大于二階以上的格式,25,3.2.1 定常守恒型方程和控制體,26,3.2.2 面積分的逼近,面積分用積分點的值表示(quadrature) 積分點的值用CV的值表示(interpolation) 對于Simpson公式,對積分點的插值需要四階精度,27,3.2.4 體積分的逼近,當被積函數為某種型函數時，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數的精度。,28,3.2.4 體積分的逼近,四階精度：2D 直角坐標網格 最后一式可以四階精度逼近3D的面積分,29,3.2.5 插值和微分,積分點的函數值和其法向梯度 1st UDS: 取上風點的值,30,插值,2nd order: 向積分點線性插值 等價于中心差分 (CDS),31,插值,當積分點的函數是線性插值時 Second order,32,插值,QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。,33,插值,高精度： N階精度的quadrture需要N-1階多項式插值公式。 界面上導數可以用插值公式的微分求出。,34,3.2.5有限體積法的邊界條件,用邊界條件替代面積分 入口：通常給定對流通量 (mass, momentum, energy, etc.) 壁面和對稱面：通量為零 邊界上函數值給定：和內部CV的值共同構建邊界上的導數,35,FV例子,36,3.2.6 守恒律的有限體積方法 Godunov 格式,37,38,3.2.6.1 Godunov方法的思想,39,一階迎風格式(CIR格式),40,用Godunov思想 說明CIR格式=Godunov格式,41,42,Riemann解圖示,43,44,3.2.6.1 1D Euler方程組的Godunov格式,Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關系自動滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關系,45,移動網格上的積分回路,46,移動網格上的Godunov格式,47,固定網格上的Godunov格式,48,Lagrange網格上的Godunov格式,49,Euler方程組的Riemann問題的解 理想氣體的5種解,50,51,二維Euler方程組的Riemann問題,52,53,僅是局部化的1D RP,54,第3