矢量分析旋度散度梯度.ppt

1.1 矢量表示法和運算 1.2 通量與散度,散度定理 1.3 環(huán)量與旋度,斯托克斯定理 1.4 方向?qū)?shù)與梯度,格林定理 1.5 曲面坐標系 1.6 亥姆霍茲定理,第一章 矢 量 分 析,Chapter 1 Vector Analysis,基本要求,掌握矢量在正交坐標系中的表示方法 掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標系中的物理意義 掌握矢量積、標量積的計算 了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運用。 了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。,了解標量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義 正確理解標量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)用 了解曲面坐標系中矢量的表示方法、三種坐標系的轉(zhuǎn)換 了解曲面坐標系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示 正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。,物理量的表示,矢量：大寫黑體斜體字母 A 大寫斜體字母加表示矢量的符號 標量：小寫斜體字母 u 單位矢量：小寫上加倒勾,若一個矢量在三個相互垂直的坐標軸上的分量已知, 這個矢量就確定了。 例如在直角坐標系中, 矢量A的三個分量模值分別是Ax , Ay , Az, 則,矢量的模 Magnitude of vector,1 .1 矢量表示法及其運算,1 .1 .1 矢量表示法及其和差,A的單位矢量 Unit vector,和或差: Vector addition or subtraction,則,圖 1 -2 矢量的相加和相減,矢量的相乘有兩種定義: 標量積(點乘)和矢量積(叉乘)。,它符合交換律:,1 .1 .2 標量積和矢量積,定義：標量積AB是一標量, 其大小等于兩個矢量模值相乘, 再乘以它們夾角AB(取小角, 即AB)的余弦:,一、標量積 Dot production,特點：,1、,|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者說矢量B 在A 上的分量）等于AB/|A|,2、,并有,互相垂直的兩個矢量的點積為0,3、,4、,定義：矢量積AB是一個矢量, 其大小等于兩個矢量的模值相乘, 再乘以它們夾角AB()的正弦, 其方向與A , B成右手螺旋關(guān)系, 為A , B所在平面的右手法向 :,1、它不符合交換律。 由定義知,二、矢量積 Cross production,特點：,2、,AB各分量的下標次序具有規(guī)律性。例如, 分量第一項是yz, 其第二項下標則次序?qū)φ{(diào): zy, 依次類推。并有,圖 1 -3 矢量乘積的說明,矢量的三連乘也有兩種。 標量三重積: Scalar triple production,矢量三重積: Vector triple production,公式右邊為“BAC-CAB”, 故稱為“Back -Cab”法則, 以便記憶。,1 .1 .3 三重積,解：,AB在C上的分量為：,例：,解：,由P=AX，有,A P A(A X)=(AX)A-(AA)X=pA- (AA)X,例,作業(yè),P31 1-1 1-3,1 .2 通量與散度, 散度定理 Flux, divergence of a vector field, divergence theorem,1.2.1 矢量場的通量,矢量場的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述,矢量場的通量,定義：若矢量場A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則,為矢量 A 沿有向曲面S 的通量。,若S 為閉合曲面,物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。,在電場中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量； 在磁場中，磁感應(yīng)強度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。,通過閉合面S的通量的物理意義：,在直角坐標系中，通量可以寫成,a) 若 ，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；,b) 若 ，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；靜電場中的負電荷就是接受電力線的負源；,c) 若 ，閉合面無源。,1 .2 .2 散度 Divergence of a vector field,2、散度的物理意義,1) 矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；,2) 矢量場的散度是一個標量；,3) 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；,1、定義：當閉合面 S 向某點無限收縮時，矢量 A 通過該閉合面S 的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 A 在該 點的散度，以 div A 表示，即,3、直角坐標系中散度的表示,散度可用算符 哈密頓 表示為,哈密頓,拉普拉斯2,正源,負源,無源,散度的基本運算公式,C為常矢量,k為常數(shù),u為標量,上式稱為散度定理, 也稱為高斯公式。,1 .2 .3 散度定理 The divergence theorem,既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, 因此直觀地可知, 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量, 即,從數(shù)學(xué)角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。 從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域 V 中的場和包圍區(qū)域 V 的閉合面 S 上的場之間的關(guān)系。 如果已知區(qū)域 V 中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。,散度定理：,散度定理的物理意義：,點電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為,求任意點處電通量密度的散度D，并求穿出r為半徑的球面的電通量,解,例,可見，除點電荷所在源點（r=0）外，空間各點的電通量密度散度均為零。,這證明在此球面上所穿過的電通量 的源正是點電荷q。,解：,例：,矢量A沿某封閉曲線的線積分, 定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量), 記為,1 .3 環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理 Curl, circulation, The Stokess theorem,1 .3 .1 環(huán)量 Curl of a vector field,為反映給定點附近的環(huán)量情況, 我們把封閉曲線收小, 使它包圍的面積S趨近于零, 取極限,這個極限的意義就是環(huán)量的面密度, 或稱環(huán)量強度。 由于面元是有方向的, 它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系, 因此在給定點處, 上述極限值對于不同的面元是不同的。 為此, 引入旋度(curl或rotation):,1 .3 .2 旋度的定義和運算,1、定義：,2、旋度的物理意義,矢量A的旋度是一個矢量, 其大小是矢量A在給定點處的最大環(huán)量面密度, 其方向就是當面元的取向使環(huán)量面密度最大時, 該面元矢量的方向 。 它描述A在該點處的旋渦源強度。 若某區(qū)域中各點curl A=0, 稱A為無旋場或保守場。,矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積, 即,計算A時, 先按矢量積規(guī)則展開, 然后再作微分運算, 得,3、旋度的計算,第一章 矢 量 分 析,即,4、旋度運算規(guī)則:,在直角坐標系中有,任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零 。 任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。,任何旋度場一定是無散場,一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)； 旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關(guān)系； 如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）； 在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律； 在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。,4、旋度與散度的區(qū)別：,因為旋度代表單位面積的環(huán)量, 因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和, 即,此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分, 或反之。,1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem,自由空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電場強度為,求任意點處(r0)電場強度的旋度E。,例,解：,可見, 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故,這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。,因,證明下述矢量斯托克斯定理：,式中S為包圍體積V的封閉面。 證 設(shè)C為一任意常矢，則,從而有,（1-37）,例1 .4,根據(jù)散度定理，上式左邊等于,于是得,由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。,1 .4 方向?qū)?shù)與梯度, 格林定理,標量場(x, y, z)在某點沿l方向的變化率稱為 沿該方向的方向?qū)?shù) 。它的值與所選取的方向 有關(guān), 設(shè),方向?qū)?shù),一、方向?qū)?shù)與梯度,梯度 gradient,是一個矢量 的模就是在給定點的最大方向?qū)?shù) 方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向, 亦即的變化率最大的方向。,梯度運算規(guī)則:,2、梯度的物理意義,1)、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；,2)、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場增加最快的方向，其幅度表示標量場的最大增加率。,任一標量場 的梯度的旋度一定等于零。 任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度 任何梯度場一定是無旋場。,梯度的重要性質(zhì),將散度定理中矢量A表示為某標量函數(shù)的梯度與另一標量函數(shù)的乘積, 則有,取上式在體積V內(nèi)的積分, 并應(yīng)用散度定理, 得,二、 格林定理 The Greens theorem,(1),沿n方向的方向?qū)?shù),格林(G .Green)第一恒等式 Greens first identity,S是包圍體積V的封閉面, 是封閉面S的外法線方向單位矢量。 適用于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)和,(2),說明：,把式中的與交換位置, 有,格林第二恒等式 Greens first identity,(1)(2)兩式相減 得,設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 則有,矢量格林定理,矢量格林第二定理:,利用上述格林定理, 可以將體積V中場的求解問題變換為邊界S上場的求解問題。 如果已知其中一個場的分布特性, 便可利用格林定理求解另一場的分布特性。,參看圖1, 場點P(x, y, z)與源點P(x, y,z)間的距離為|R |, 試證,這里表示對帶撇坐標(x, y, z)作微分運算(將P取為定點, P為動點):,例：,證,即,同理可得,例:,求P點的電位梯度。,解 ：,在點電荷q的靜電場中, P(x, y, z)點的電位為,圖 1 -8 柱坐標系,1 .5 曲面坐標系,1 .5 .1 圓柱坐標系Cylindrical coordinate system,三個單位矢量：,矢量P三個坐標分量,各物理量的變化范圍：,一、坐標系,矢量A在柱坐標系中的表示為：,以坐標原點為起點, 指向P點的矢量r, 稱為P點的位置矢量或矢徑。在柱坐標系中P點的位置矢量是,對任意的增量d , d , dz, P點位置沿 , , 方向的長度增量(長度元)分別為,三者總保持正交關(guān)系, 并遵循右手螺旋法則:,位置矢量,二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示,長度增量(長度元),每個坐標長度增量同各自坐標增量之比, 稱為度量系數(shù), 又稱拉梅(G .Lame)系數(shù), 分別為,與三個單位矢量相垂直的三個面積元和體積元分別是,度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：,面積元和體積元：,圖 1 -9 球面坐標系,1 .5 .2 球面坐標系 Spherical coordinate system,三個單位矢量：,矢量P三個坐標分量,各物理量的變化范圍：,一、坐標系,遵循右旋法則:,矢量A在球坐標系中的表示 ：,二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示,長度增量(長度元),度量系數(shù)：,面積元和體積元：,圖 1 -10 三種坐標間的變換,1 .5 .3 三種坐標的變換及場論表示式,直角坐標柱坐標,直角坐標球坐標,在柱坐標中三個長度元分別為d , d和dz, 因而其算子相應(yīng)地換為,球坐標長度元為dr , rd和r sind, 故其算子為,算子,柱坐標中矢量A的散度和旋度,為了對矢量函數(shù)求導(dǎo), 一個常用的公式是,球坐標中矢量A的散度和旋度,在一對相距為l的點電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場中, 距離rl處的電位為,求其電場強度E(r, , )。,解 ：,例 1 .7,亥姆霍茲定理的簡化表述如下: 若矢量場F在無限空間中處處單值, 且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界, 而源分布在有限區(qū)域中, 則矢量場由其散度和旋度唯一地確定。 并且, 它可表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和, 即,1 .6 亥姆霍茲定理,二. 矢量場的分類,根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：,1) 調(diào)和場,若矢量場F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0 則在該區(qū)域V內(nèi)，場F為調(diào)和場。,注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。,調(diào)和場，有源無旋場，無源有旋場，有源有旋場,如果 ，則稱矢量場F為無旋場。無旋場F可以表示為另一個標量場的梯度，即,函數(shù)u稱為無旋場F的標量位函數(shù)，簡稱標量位。,無旋場F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即,這一結(jié)論等價于無旋場的曲線積分 與路徑無關(guān)，只與起點P和終點Q有關(guān)。 標量位u的積分表達式：,2) 有源無旋場,由 ，有,函數(shù)A稱為無源場F的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位。 無源場F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋場,一般的情況下，如果在矢量場F的散度和旋度都不為零，即,如果 ，則稱矢量場F為無源場。無源場F可以表示為另一個矢量場的旋度，即,3)無源有旋場,可將矢量場F表示為一個無源場Fs和無旋場Fi 的疊加，即,其中Fs和Fi分別滿足,于是,因而，可定義一個標量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得,常用的矢量恒等式,矢量分析小結(jié),基本內(nèi)容,矢量場的表示方法和代數(shù)運算和乘積運算 矢量場的散度和旋度 標量場的梯度 曲面坐標系 亥姆霍茲方程,基本要求,掌握矢量在正交坐標系中的表示方法 掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標系中的物理意義 掌握矢量積、標量積的計算 了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運用。 了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。,了解標量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義 正確理解標量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)用 了解曲面坐標系中矢量的表示方法、三種坐標系的轉(zhuǎn)換 了解曲面坐標系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示 正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。,本章重要公式,例,利用直角坐標，證明,證明：,例：,給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez ，求它們之間的夾角和A在B上的分量。,解：,A與B之間的夾角為,A在B上的分量為,例：,求標量函數(shù)x2yz的梯度及在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量 定出；求點(2,3,1)的方向?qū)?shù)值,解：,例：,利用散度定理及斯托克斯定理證明：,1）,2）,證明:,對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理,由于曲面S是任意的，故有,2) 對于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有,其中S1和S2如圖1所示。由斯托克斯定理，有,由題圖1可知C1和C2是方向相反的同一回路，則有,S1,S2,C2,C1,n1,n2,所以得到,由于體積V是任意的，故有,習題及答案,已知 , 求：,1-5,解：,(a),(b),(c),(d),1-8,或,1-13,1-14