學(xué)案7函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用.ppt

1.函數(shù)與方程的關(guān)系(會借助圖象解決有關(guān)根個數(shù)的 問題). 2.數(shù)學(xué)建模(把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題). 3.能熟練解決有關(guān)函數(shù)零點的問題并能用二分法求相 應(yīng)方程的近似解. 4.數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.,學(xué)案7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用,1.(2009福建)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象關(guān)于 直線 對稱.據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù) a,b,c,m,n,p關(guān)于x的方程mf(x)2+nf(x)+p=0的解集 不可能是 （ ） A.1,2 B.1,4 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64 解析 本題用特例法解決簡潔快速,對方程mf(x)2+ nf(x)+p=0中m,n,p分別賦值求出f(x)代入f(x)=0求出 檢驗即得.,D,2.(2008安徽)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函 數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex，則有 （ ） A.f(2)f(3)g(0) B.g(0)f(3)f(2) C.f(2)g(0)f(3) D.g(0)f(2)f(3) 解析 由題意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)為奇函數(shù)， g(x)為偶函數(shù),所以上式可化為-f(x)-g(x)=e-x,與已 知f(x)-g(x)=ex聯(lián)立得 所以f(x)在定義域R上 為增函數(shù),所以0=f(0)f(2)f(3). 又g(0)=-10,所以g(0)f(2)f(3）.,D,3.(2009北京)已知函數(shù) 若f(x)=2, 則x=_. 解析 ,log32,4.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一個根為x0，且x0(n,n+1),nN*,則 n的值為_. 解析 設(shè)x0,則-x0,所以f(-x)=-lg x-x+3,又因為 函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),則x0時, f(x)=lg x+x-3,又f(x)在(0,+)上是增函數(shù), 由f(2)=lg 2-10,f(3)=lg 30, 所以x0(2,3)，則n=2.,2,題型一 函數(shù)的零點 【例1】(2009山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)， 且滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若 方程f(x)=m (m0)在區(qū)間-8,8上有四個不同的根 x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=_. 解析 因為定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x-4)=-f(x),所 以f(x-4)=f(-x),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-2對稱且 f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函數(shù)是以 8為周期的周期函數(shù),又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增 函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-2，0上也是增函數(shù).,如圖所示，那么方程f(x)=m (m0)在區(qū)間-8,8上 有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1x2x3x4， 由對稱性知，x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8,【探究拓展】根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系， 可以求解有關(guān)一元二次方程的根的分布問題,也可利 用零點的存在性定理來確定,即判斷某個區(qū)間兩端點 的函數(shù)值的符號來斷定零點的存在及零點的個數(shù).數(shù) 形結(jié)合也是處理這一類型問題的好方法.,變式訓(xùn)練1 設(shè)定義域為R的函數(shù) 若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三個不同的實根x1, x2,x3,則 的值為_. 解析 由圖象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三個不同 的實根只須f(x)=1,所以必有一根為2,另兩根是方程 的根,這兩根分別是1和3.,14,題型二 函數(shù)思想的應(yīng)用 【例2】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c, (1)若abc,且a+b+c=0,試證明f(x)=0必有兩個實根; (2)若對x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2),試證明方程 f(x)= f(x1)+f(x2)有兩不等實根,且必有一個實根 屬于(x1,x2). 證明 (1)若abc,a+b+c=0, 則a0,c0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化為: ax2-(a+c)x+c=0, 即a(x-1)(x - )=0, 則f(x)=0有兩根x1=1,x2=,(2)令g(x)=f(x)- f(x1)+f(x2), 由題意可知:g(x)是開口向上的二次函數(shù), 又g(x1)= f(x1)-f(x2), g(x2)= f(x2)-f(x1), 且x1x2,f(x1)f(x2), 所以g(x1)g(x2)= f(x1)-f(x2)20, 即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有零點,則方程g(x)=0在 有一實根屬于(x1,x2),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知必有另 一實根.,【探究拓展】二次函數(shù)問題通常利用二次方程、二次 不等式之間的關(guān)系來處理,從而使方程問題函數(shù)化, 函數(shù)問題方程化，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 變式訓(xùn)練2 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如 果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1，1上有零點，求實數(shù)a的取 值范圍.,解 當(dāng)a=0時，f(x)=2x-3, 其零點 不在區(qū)間-1，1上. 當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1分為兩種情況： 函數(shù)在區(qū)間-1,1上只有一個零點， 此時,函數(shù)在區(qū)間-1，1上有兩個零點，此時 綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間-1,1上有零點， 那么實數(shù)a的取值范圍為(-, 1,+).,題型三 函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 【例3】(2009廣東)已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù) 的圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小 值m-1 (m0).設(shè)函數(shù) (1)若曲線y=f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值 為 ,求m的值; (2)k(kR)如何取值時,函數(shù)y=f(x)-kx存在零點,并求 出零點.,解 (1)設(shè)g(x)=ax2+bx+c(a0)，則g(x)=2ax+b; 又y=g(x)的圖象與直線y=2x平行, 2a=2,a=1,又g(x)在x=-1處取得極小值, g(-1)=0,b=2. g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,c=m; 設(shè)P(x0,y0),(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, 得(1-k)x2+2x+m=0. (*) 當(dāng)k=1時,方程(*)有一個解 故函數(shù)y=f(x)-kx有一個零點 當(dāng)k1時,方程(*)有二解=4-4m(1-k)0,當(dāng)k1時,方程(*)有一解=4-4m(1-k)=0, 【探究拓展】此題考查了函數(shù)的零點、最值、一元二 次方程等基礎(chǔ)知識，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方 法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整合的數(shù)學(xué)思想方 法.,變式訓(xùn)練3 已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (2)設(shè)有且僅有一個實根x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x) 的解析表達式. 解 (1)因為對任意xR, 有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2. 又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2, 即f(1)=1,若f(0)=a, 則f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.,(2)因為對任意xR,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)=x0. 所以對任意xR,有f(x)-x2+x=x0. 在上式中令x=x0,有f(x0)- +x0=x0. 又因為f(x0)=x0,所以x0- =0, 故x0=0或x0=1, 若x0=0,則f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x. 但方程x2-x=x有兩個不相同實根,與題設(shè)條件矛盾. 故x00. 若x0=1,則有f(x)-x2+x=1, 即f(x)=x2-x+1.易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件. 綜上,所求函數(shù)f(x)=x2-x+1 (xR).,題型四 函數(shù)的實際應(yīng)用 【例4】(2009山東)兩縣城A和B相距20 km,現(xiàn)計劃 在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧 上選擇一點C建 造垃圾處理廠,其對城市的影響度與所選地點到城市 的距離有關(guān),對城A和城B的總影響度為對城A與對城 B的影響之和,記C點到城A的距離為x km,建在C處的 垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計調(diào)查表 明:垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距 離的平方成反比，比例系數(shù)為4;對城B的影響度與所 選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k,當(dāng) 垃圾處理廠建在弧 的中點時，對城A和城B的總影 響度為0.065.,(1)將y表示成x的函數(shù); (2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷弧 上是否存在 一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影 響度最小?若存在,求出該點到城A的距離;若不存在, 說明理由. 解 (1)如圖所示,由題意知AC BC,即ACB=90, AC=x km，BC2=400-x2, 其中當(dāng) 時,y=0.065,所以k=9. 所以y表示成x的函數(shù)為,18x4=8(400-x2)2,所以x2=160, x= ,當(dāng)0x 時,18x48(400-x2)2, 即y0,所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù), 當(dāng) x20時,18x48(400-x2)2,即y0, 所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).,所以當(dāng)x= 時,即當(dāng)C點到城A的距離為 時, 【探究拓展】本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng) 用,運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運用換 元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.,變式訓(xùn)練4 (2009湖南)某地建一座橋,兩端的橋墩 已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之 間的橋面和橋墩,經(jīng)預(yù)測,一個橋墩的工程費用為256 萬元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 (2+ )x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為 點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為y萬元. (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小?,解 (1)設(shè)需要新建n個橋墩,(n+1)x=m,令f(x)=0,得 所以x=64. 當(dāng)0x64時，f(x)0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減 函數(shù); 當(dāng)64x640時,f(x)0, f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù), 所以f(x)在x=64處取得最小值, 此時, 故需新建9個橋墩才能使y最小.,【考題再現(xiàn)】 (2009江西)設(shè)函數(shù)f(x)=x3- x2+6x-a. (1)對于任意實數(shù)x,f(x)m恒成立,求m的最大值; (2)若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值范圍. 【解題示范】 解 (1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), 2分 因為x(-,+),f(x)m, 即3x2-9x+(6-m)0恒成立, 4分 所以=81-12(6-m)0,得m 即m的最大值為 6分,(2)因為當(dāng)x1時,f(x)0; 當(dāng)1x2時,f(x)0; 當(dāng)x2時,f(x)0; 所以當(dāng)x=1時,f(x)取極大值f(1)= -a; 9分 當(dāng)x=2時,f(x)取極小值f(2)=2-a; 10分 故當(dāng)f(2)0或f(1)0時,方程f(x)=0僅有一個實根. 解得a2或a 12分,1.若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上滿足f(a)f(b)0, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上,至少有一個零點.但還應(yīng) 注意當(dāng)曲線與x軸相切時,函數(shù)存在零點但不滿足該 點附近左右兩點函數(shù)值的積小于零；切記. 2.在解決數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問題時，一定要弄清題意， 分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;將文字語言翻譯成 數(shù)學(xué)語言,再變換成符號語言,進而根據(jù)題意列出相 應(yīng)的等式求解,將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際 問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實際.,3.常見重要的數(shù)學(xué)模型有：二次函數(shù)解決有關(guān)最值 問題；分式函數(shù)模型：y=x + (x0)給定區(qū)間上 結(jié)合單調(diào)性解決最值問題;應(yīng)用y=N(H+p)x的模型 解決有關(guān)增長率及利息等問題. 4.在解決函數(shù)與方程的有關(guān)問題時，常常利用數(shù)形結(jié) 合思想進行解答.,一、選擇題 1.設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x+b) (a0,a1)的圖象過點(2, 1),其反函數(shù)的圖象過點(2,8),則a+b等于 （ ） A.6 B.5 C.4 D.3 解析 函數(shù)f(x)=loga(x+b) (a0,a1)的圖象過點 (2,1),其反函數(shù)的圖象過點(2,8),則原函數(shù)圖象過 點(8,2). a=3或a=-2(舍),b=1.a+b=4.,C,2.客車從甲地以60 km/h的速度行駛1小時到達乙地， 在乙地停留了半小時，然后以80 km/h的速度行駛1 小時到達丙地.下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地, 最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間的關(guān)系圖象 中,正確的是 （ ）,解析 由題意可知客車在整個過程中的路程函數(shù)s(t) 的表達式為: 對比各選項的曲線知應(yīng)選B. 答案 B,3.(2008遼寧)設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x0時是 單調(diào)函數(shù),則滿足 的所有x之和為 ( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因為f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且x0時是單調(diào)函 數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若 只有兩種情 況: 由知x2+3x-3=0,故兩根之和為x1+x2=-3. 由知x2+5x+3=0，故其兩根之和為x3+x4=-5. 因此滿足條件的所有x之和為-8.,C,4.若函數(shù)y=f(x) (xR)滿足f(x+2)=f(x),且x-1,1 時,f(x)=|x|,則函數(shù)F(x)=f(x)-|log5|x|的零點的個 數(shù)是 （ ） A.5 B.6 C.10 D.12 解析 因f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2為周期的函數(shù), 且x-1,1時,f(x)=|x|,在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù) f(x)及函數(shù)y=|log5|x|的圖象，則兩圖象的交點個 數(shù),即為函數(shù)F(x)=f(x)-|log5|x|的零點的個數(shù).,C,5.(2008陜西)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x) +f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,則f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,6.已知圓C:x2+y2=4 (x0，y0)與函數(shù)f(x)=log2x， g(x)=2x的圖象分別交于A(x1,y1),B(x2,y2),則 等于 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析 由題意可知:其函數(shù)圖象 如右圖所示，因為函數(shù)f(x)， g(x)互為反函數(shù)所以其圖象關(guān) 于直線l:x-y=0對稱，因交點為 A(x1,y1),B(x2,y2),所以x2=y1. 即,C,二、填空題 7.已知函數(shù) 且f(2)=f(0),f(3) = 9,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)為_. 解析 由f(2)=f(0),得b=-4,再由f(3)=9,得c=3, 當(dāng)x0時,f(x)=x,即2x2-5x+3=0, 解得x= 或x=1; 當(dāng)x0時,3=x方程無解.,2,8.關(guān)于x方程|x2-4x+3|-a=x有3個不等的實數(shù)根，則實 數(shù)a的取值范圍是_. 解析 因原方程可整理為|(x-2)2-1|=x+a，在同一坐 標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)=|(x-2)2-1|及y=x+a的圖象，由 圖象可知： 當(dāng)a=-1時，原方程有3個不等的實數(shù)根； 消去y，令=0,得 綜上可知:a=-1或,9.某地區(qū)預(yù)計2009年的前x個月內(nèi)對某種商品的需求 總量f(x)(萬件)與月份x的近似關(guān)系式是f(x)= x(x+1)(19-x) (xN*,1x12),若2009年的第 x月份的需求量g(x)(萬件)最大,則x的值是_. 解析 由題意可知： g(x)=f(x)-f(x-1