假設檢驗與統(tǒng)計推斷.ppt

假設檢驗與重要概率分布,計量經濟學第一次小組展示,一、假設檢驗,1、定義：根據(jù)樣本信息判斷總體分布是否具有指定特征，這個過程就叫做假設檢驗。 2、方法：運用“反證法”的思想，即先假定假設成立，然后根據(jù)某種判別準則看能得出什么樣的結果。如果得出合理結果，則自然認為假設成立；如果得出不合理結果，則認為假設不成立。,在假設檢驗中，我們首先對總體參數(shù)做一個嘗試性的假設。該嘗試性的假設被稱為原假設，記作H0。然后，定義另一個與原假設內容完全相反的假設，記作H，稱之為備擇假設。假設檢驗的過程就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對這兩個對立的假設H0和H進行檢驗。,一般來說，假設檢驗是拒絕H0，從而證明H 正確,1.等號只能位于原假設H0中； 2.單側檢驗方向的設定，決定了拒絕規(guī)則的選擇； 3.一般先設定備擇假設H ； 4. H0與H 應保證相互獨立且完備。,注意事項：,假設檢驗的兩類錯誤,表格中的第一行說明，當做出接受H0結論時所可能發(fā)生的情況。這時，如果H0是真的，則該結論正確；如果H是真的，那么我們發(fā)生了第二類錯誤，即當H0為假時我們卻接受了H0. 表格中的第二行說明，當做出拒絕H0結論時所可能發(fā)生的情況。這是，如果H0是真的，那么我們發(fā)生了第一類錯誤，即當H0是真的時候我們卻拒絕了H0 ，如果H是真的，則拒絕H0是正確的。,當原假設以等式的形式為真時，犯第一類錯誤的概率被稱為檢驗的顯著性水平。 用希臘字母表示顯著性水平，一般取為0.05或0.01。通過選擇，控制了犯第一類錯誤的概率。一般的，我們將控制第一類錯誤的假設檢驗叫做顯著性檢驗。,3、原假設和備擇假設的建立三種形式：,計量經濟學中的假設檢驗主要是雙側假設檢驗,雙側檢驗,左側檢驗,右側檢驗,設 是來自正態(tài)總體X的一個簡單隨機樣 本，樣本均值為 ，根據(jù)單個總體的抽樣分布結 論，選用統(tǒng)計量,選用統(tǒng)計量：,4、檢驗統(tǒng)計量,5、P-值法,P-值是一個概率值，衡量樣本對原假設的支持程度。P-越小說明對原假設的支持程度越低。小的P-值表明在假設H0為真時，統(tǒng)計量的值時異常的。 （以下側檢驗為例）方法：首先根據(jù)題目中所給條件計算檢驗統(tǒng)計量，然后通過查標準正態(tài)分布表得出Z下側的面積（即P-值），接著找到給定的顯著性水平，最后如果P-值，則拒絕H0。,5、臨界值法,臨界值導致拒絕原假設的檢驗統(tǒng)計量的最大值，一般的，臨界值是在標準正態(tài)分布的下側面積對應于=0.01的檢驗統(tǒng)計量的值。 （以下側檢驗為例）方法：首先根據(jù)題目中所給條件計算檢驗統(tǒng)計量，然后計算標準正態(tài)分布的下側面積對應于 的Z值（即臨界值）最后如果所求Z值-Z ，則拒絕H0,假設檢驗的步驟： 1、提出原假設和備擇假設 2、指定檢驗中的顯著性水平 3、搜集樣本數(shù)據(jù)并計算檢驗統(tǒng)計量的值 P-值法 4、利用檢驗統(tǒng)計量計算出P-值 5、如果P-值 ，則拒絕H0 臨界值法 4、顯著性水平確定臨界值以及拒絕規(guī)則 5、利用檢驗統(tǒng)計量的值及拒絕規(guī)則確定是否拒絕H0,對于上側檢驗，和雙側檢驗的P-值法和臨界值法運用的原理是相同的，這里不一一列舉。,總體均值的檢驗,例：某電子元器件生產廠對一批產品進行檢測，使用壽命不低于2000小時為合格品。該電子元器件的使用壽命服從正態(tài)分別，標準差為100小時。從該批產品中隨機抽取了120個產品進行檢測，測得樣本均值為1960小時，在 的顯著性水平下檢驗該批電子元器件的質量是否符合要求。,解：由題意總體服從正態(tài)分布，,樣本均值 ，樣本容量,4.382,拒絕域,= -2.33,所以拒絕原假設，即電子元件的質量不符合標準。,(1),(2),(3),(4),二、重要的概率分布復習,（一）正態(tài)分布 （二） t分布 （三） x分布 （四） F分布,（一）正態(tài)分布,1、簡介：對于連續(xù)型隨機變量而言，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，其形狀似“鐘型”。經驗表明：對于其值依賴于眾多微小因素且每一因素均產生微小的或正或負影響的連續(xù)型隨機變量來說，正態(tài)分布是一個相當好的描述模型。如身高、體重、考試成績等。,表示隨機變量X服從正態(tài)分布。 符號表示隨機變量服從什么樣的分布；N表示正態(tài)分布；，為正態(tài)分布的（總體）均值（或期望）和方差。X是一個連續(xù)型隨機變量，可在區(qū)間（,+）內任意取值。,-,-2,2,68%近似,3,-3,95%近似,99.7%近似,2、正態(tài)曲線下的區(qū)域示意圖,正態(tài)分布曲線以均值為中心，對稱分布。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈中間高、兩邊低，在均值處達到最高，向兩邊逐漸降低，即隨機變量在遠離均值處取值的概率逐漸變小。 正態(tài)曲線下的面積約有68%位于 兩值之間；約有95%面積位于2之間；約有99.7%的面積位于 3之間。這些區(qū)域可用作概率的度量。（即經驗法則）,3、性質,正態(tài)分布可由兩個參數(shù)，來描述，即一旦知道，的值，就可以根據(jù)附錄表查到隨機變量X落于某一區(qū)間的概率值。 兩個（或多個）正態(tài)分布隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。該性質很重要，解釋如下： 正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3。,如果變量X的均值為，方差為，定義一個新的變量Z， 則根據(jù)性質5，變量Z的均值為0，方差為1。在統(tǒng)計學中，我們稱之為單位或標準正態(tài)變量，用符號表示為：XN（0,1）任一給定均值和方差的正態(tài)變量都可轉化為標準正態(tài)變量，將其標準化可以大大簡化計算。,4、標準正態(tài)分布,（二）t分布,1、樣本均值的抽樣分布或概率分布 樣本均值是總體均值的估計量，但是由于樣本均值是依靠某一給定樣本而定，因此它的值會因隨機樣本的不同而變化。由此，我們將樣本均值看作隨機變量，在樣本是隨機抽取得到的條件下，求樣本均值的概率密度函數(shù)。,2、理論依據(jù)： 若X1，X2，X3，Xn是來自于均值為，方差為的正態(tài)總體的一隨機樣本。則樣本均值 也服從正態(tài)分布，其均值為，方差為/n，即：,也就是說，樣本均值 的抽樣（或概率）分布，同樣服從正態(tài)分布。,樣本均值概率分布的標準正態(tài)變量：,將樣本均值的概率密度轉化為標準正態(tài)分布后，可以從標準正態(tài)分布表中計算某一給定樣本均值大于或小于給定的總體均值的概率。,3、中心極限定理：如果X1，X2，Xn是來自(均值為，方差為)任一總體的隨機樣本，隨著樣本容量的無限增大，其樣本均值趨于正態(tài)分布，其均值為，方差為/n。,4、假定已知和的估計量S，則可以用樣本標準差（S）代替總體標準差（），得到一個新的變量t。,根據(jù)統(tǒng)計理論得知：變量t服從自由度為(n-1)的t分布。 注意：在這里，自由度為(n-1)，而不是n。 結論：從正態(tài)總體中抽取隨機樣本，若該正態(tài)總體的均值為，但方差用其估計量S來代替，則其樣本均值服從t分布。通常用符號tk表示，其中k表示自由度。,k=120(正態(tài)）,K=20,K=5,0,不同自由度下的 t分布,5、性質, t分布與正態(tài)分布相類似，具有對稱性。 t分布的均值與標準正態(tài)分布均值相同，為0，但方差為k/(n-2)。由此，在求t分布的方差時定義自由度必須大于2。標準正態(tài)分布的方差等于1，因此，t分布方差總大于標準分布的方差，也就是說，t分布比正態(tài)分布略“胖”些。,t分布與正態(tài)分布 當k增大時，t分布的方差接近于標準正態(tài)分布方差值1。 當k=10時，t分布的方差為10/8=1.25； 當k=30時，t分布的方差為30/28=1.07； 當k=100時，t分布的方差為100/98=1.02； 結論：隨著自由度的逐漸增大t分布近似于正態(tài)分布。 注意：對于t分布，不要求其樣本容量很大k=30時，t分布與正態(tài)分布已很近似。,t分布表的使用:,0,-1.812,1.812,例：自由度為10，P (t1.812)=P (t1.812)=P (t1.812)+P(t-1.812)=0.1,0.05,0.05,例：已知20名10歲男孩的跳遠成績的平均數(shù)為1.65m,標準差為0.2m，求出其總體平均數(shù)的95%的置信區(qū)間。,（三） 分布,1、分布是統(tǒng)計學中常用的一種概率分布，它與正態(tài)分布有緊密的關系。 統(tǒng)計理論證明：標準正態(tài)變量的平方服從自由度為1的分布，用符號表示為，,其中，Z是標準正態(tài)變量，即ZN(0,1)； x的下標(1)表示自由度。自由度是指平方和中獨立觀察值的個數(shù)。因為我們考慮的是一個標準正態(tài)變量的平方，故自由度為1。,現(xiàn)在令Z1，Z2,，Zk為k個獨立的標準正態(tài)變量（即每一個變量都是均值為0，方差為1的正態(tài)變量），現(xiàn)在對所有的變量Zs平方，則它們的平方和服從自由度為k的X分布，即,公式里的自由度為k，因為在所有變量的平方和中 有k個獨立的觀察值。,分布的幾何圖形：,f(),概率密度,K=2,K=5,K=10,變量的密度函數(shù),0,性質,與正態(tài)分布不同， 分布只取正值（它是平方和的分布），并且取值范圍從0到無限大。 與正態(tài)分布不同， 分布是斜分布，其偏度取決于自由度的大小，自由度越小，越向右偏，但是隨著自由度的增大，逐漸呈對稱，接近于正態(tài)分布。 分布的期望值為k，方差為2k。k為分布的自由度。即分布的方差是其均值的2倍。 若E1、E2分別為自由度為k1,k2的兩個相互獨立的 變量，則其和(Z1+Z2)也是一個變量，其自由度為(k1+k2)。,可以證明： 樣本方差與總體方差的比值與自由度 (n-1)的積服從自由度為(n-1)的分布。公式表示為：,其中，為總體方差，S為樣本方差，樣本容量為n。,（四） F分布,令隨機樣本X1，X2，X3，Xm來自均值為x和方差為x的正態(tài)總體，其樣本容量為m；隨機樣本Y1，Y2，Y3，Yn來自均值為y和方差為y的正態(tài)總體，其樣本容量為n；且這兩個樣本相互獨立。假設知道這兩個隨機樣本的樣本方差Sx和Sy（兩個總體方差的估計量）。,定義一個新的變量F,分析F值：如果這兩個總體方差真實相等，則計算出的F值接近于1，如果兩個總體方差真實值不相等，則F值不等于1；兩總體方差相差越大，則F值越大。 統(tǒng)計理論表明：如果x =y（即兩總體方差相等），則F服從分子自由度為k1=(m-1)，分母自由度為k2=(n-1)的F分布。,需要說明一點： 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，更準確的說法是：（ Sx/ x）/（Sy/ y）服從F分布，但我們上式給出， x =y，故樣本方差之比服從F分布。 F分布又稱為方差比分布，通常用符號表示為： 其中的雙下標表明了分子與分母的自由度。 在計算F值時，將方差大的值放在上面，故F值總是大于或等于1。,性質, 與分布類似，F(xiàn)分布也是斜分布，向右偏，其取值范圍也為0到無限大（見下圖） 。,0,F,F (F),概率密度,F2,2,F50,50,F10,2, 與分布類似，當自由度k1，k2逐漸增大時，F(xiàn)分布近似于正態(tài)分布。 t分布變量的平方服從分子自由度為1，分母自由度為k的F分布，即 變量與其自由度之比近似為分母自由度為m，分子自由度很大（無限大）的F變量，即,當n ,對于大容量的樣本，我們可以用分布來代替F分布；同樣，也可用F分布代替分布。 性質3也可以改寫為：,即若分子自由度充分大，則Fm,n值的m倍，等于自由度為m的分布。,例：兩個班做同樣的計量經濟學測試。其中，一班級共有學生100名，二班級共有學生150名。老師從一班級隨機抽取25個學生，從二班級隨機抽取31個學生，觀察得到兩個班級學生考試平均分數(shù)的樣本方差分別為100和132。假設學生考試平均分數(shù)這一隨機變量服從正態(tài)分布，能否認為這兩個班級的分數(shù)平均值同方差。 分析：這兩個隨機樣本來自兩個正態(tài)總體，并且相互獨立，則首先利用公式計算F值。 F=132/100=1.32 它服從自由度為30、24的F分布。,查F分布表得當分子自由度為30、分母自由度為24時