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一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第十一講 無窮小量的比較,腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民,第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性,本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。,第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性,第六節(jié) 無窮小量的比較,一. 無窮小量比較的概念,二. 關(guān)于等階無窮小的性質(zhì)和定理,等價無窮小必是同階無窮小,但反之不真.,x 0 時的幾個無窮小量的比較：,有何想法？,證,所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) ., x 0 時,不可比較的無窮小.,不存在, 但不是無窮大,與 x 是,二. 關(guān)于等階無窮小的性質(zhì)和定理,1. 定理,定理,設(shè)在某一極限過程中,證,綜上所述,限過程中的第三個變量.,2. 定理,定理,綜上所述,證,設(shè)在某極限過程中, , , 則 .,3. 定理,定理,無窮小量可以用其等價無窮小量替代.,定理告訴我們:,在計算只含有乘、除法的極限時,如果在加減法中用等價無窮小量替代, 則會產(chǎn)生錯誤:,將常用的等階無窮小列舉如下:,當 x 0 時,求,解,求,解,求,解,求,解,求,和差化積,解,此題也可先在 分子處加 1 減 1,求,解,證明：若在某極限過程中0, 0,在某極限過程中, 若 , 則,且 0, 則 的充要條件是,證,故,由于,解,解,變量代換,四則運算,等價無窮小,解,連續(xù)兩次使用等價無窮小替代.,等價無窮小替代,解,函數(shù)的性質(zhì),等價無窮小替代,重要極限,也可再用等價無窮小替代,請看下面的定理.,定理

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