格林公式及其應用(打印.ppt

第二節(jié),一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件,格林公式及其應用,第八章,（一）、區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復連通區(qū)域.,復連通區(qū)域,單連通區(qū)域,（二）、格林公式,定理1,邊界曲線L的正向: 當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,L,1. 簡化曲線積分,（三）、簡單應用,2. 簡化二重積分,（,例3 計算,解：可直接化為對x的定積分，但計算量較大。這里用格林公式。,從 到,（,解,(注意格林公式的條件),注: 此例中所作的輔助圓l一定要是D內(nèi)的圓周（即r充分小）,（2）L不封閉時，采取“補線”的方法：,要求右端的二重積分及曲線積分易于計算。 選用直線段、折線、圓、半圓、橢圓、拋物線等。,其中 是包圍點 的與 同向的光滑的簡單閉曲線，特別地 是以 為中心的圓、橢圓等（半徑或長短半軸大小不限，只要內(nèi)部沒有別的“壞點”）,例 5 計算 逆時針 方向。,解：,除原點外處處有,取 ,逆時針方向，則,3. 計算平面面積,解,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi)有,二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件,1、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,定理2.設(shè) 是單連通域 ,在 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿 中任意光滑閉曲線 ,有,(2) 對 中任一分段光滑曲線 , 曲線積分,(3),(4) 在 內(nèi)每一點都有,與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為,證明 (1) (2),設(shè),為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則,(根據(jù)條件(1),證明 (2) （3）,在D內(nèi)取定點,因曲線積分,則,同理可證,因此有,和任一點 ,與路徑無關(guān),有函數(shù),證明 (3) （4）,設(shè)存在函數(shù) 使得,則,在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有,證明 (4) （1）,設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得,所圍區(qū)域為,證畢,說明:,根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi),則,2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求 在域D內(nèi)的原函數(shù):,及動點,或,則原函數(shù)為,若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;,取定點,1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;,例5. 計算,其中L 為上半,從 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,它與L所圍,原式,圓周,區(qū)域為D , 則,例6.驗證,是某個函數(shù)的全微分,并求,出這個函數(shù).,證:設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y)，使,。,。,例7.驗證,在右半平面 內(nèi)存在原函,數(shù) , 并求出它.,證: 令,則,由定理 2 可知存在原函數(shù),或,例8. 設(shè)質(zhì)點在力場,作用下沿曲線 L :,由,移動到,求力場所作的功W,解:,令,則有,可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).,取圓弧,注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑,無關(guān) !,內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價條件,在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).,在 D 內(nèi)有,對 D 內(nèi)任意閉曲線L有,在 D 內(nèi)有,設(shè)P,Q在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則有,思考與練習,1. 設(shè),且都取正向, 問下列計算是否正確 ?,提示:,2. 設(shè),提示:,備用題 1. 設(shè)C為沿,從點,依逆時針,的半圓, 計算,解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .,原式 =,到點,2. 質(zhì)點M 沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動