【高考輔導(dǎo)資料】高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)07__奇偶性與單調(diào)性(一)

難點(diǎn)7 奇偶性與單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場(chǎng)()設(shè)a0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+)上是增函數(shù).案例探究例1已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對(duì)任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬題目.知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過(guò)關(guān)，結(jié)果很難獲得.技巧與方法：對(duì)于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=y是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn).證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(1，1)上為減函數(shù).例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于級(jí)題目.知識(shí)依托：逆向認(rèn)識(shí)奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問(wèn)題.錯(cuò)解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識(shí)不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于讀題過(guò)程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，通過(guò)本題會(huì)解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè)0x1x2,則x2x10，f(x)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞減.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是，+結(jié)合0a3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為，3).錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對(duì)所列的“磁場(chǎng)”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會(huì)，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過(guò)程，又掌握基本函數(shù).(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( )A.f(x)=(x1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.()函數(shù)f(x)=的圖象( )A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線x=1對(duì)稱二、填空題3.()函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_.4.()若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11).(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，+)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.()求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+)上是減函數(shù).7.()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a.8.()已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,當(dāng)x時(shí)，f(x)0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1)解：依題意，對(duì)一切xR,有f(x)=f(x),即+aex.整理，得(a)(ex)=0.因此，有a=0,即a2=1,又a0,a=1(2)證法一：設(shè)0x1x2,則f(x1)f(x2)=由x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函數(shù)證法二：由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex(e2x1).當(dāng)x(0,+)時(shí)，ex0,e2x10.此時(shí)f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：f(x)= =f(x)，故f(x)為奇函數(shù).答案：C2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(,1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，y=f(|x+1|)在(,1上遞減.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+單調(diào)遞增，故a0.又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.證明：(1）設(shè)1x1x2+,則x2x10, 1且0,0,又x1+10,x2+100,于是f(x2)f(x1)=+ 0f(x)在(1，+）上為遞增函數(shù).(2）證法一：設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)=0,則且由01得01,即x02與x00矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,則2,1,f(x0)1與f(x0)=0矛盾，若x01,則0, 0，f(x0)0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.證明：x0,f(x)=,設(shè)1x1x2+,則.f(x1)f(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）7.證明：(1）不妨令x=x1x2,則f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函數(shù).(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a為周期的周