人大版 微積分 第三章 導數(shù)的基本公式(續(xù)).ppt

莫興德 廣西大學 數(shù)信學院,Email:,微 積 分,鏈接目錄,參考書,1趙樹嫄. 微積分. 中國人民出版社 2同濟大學. 高等數(shù)學. 高等教育出版社,第三章 導數(shù)與微分,引例 導數(shù)概念 導數(shù)的基本公式與運算法則 高階導數(shù) 微分,3-3 導數(shù)的基本公式 （續(xù)） 取對數(shù)求導法 隱函數(shù)微分法 參數(shù)函數(shù)微分法,隱函數(shù)的求導法則,隱函數(shù)的求導法則,F ( x, f (x) ) 0,對上式兩邊關(guān)于 x 求導（把看成是中間變量）：,然后, 從這個式子中解出 y , 就得到隱函數(shù)的導數(shù).,方法：,則將 y = f (x) 代入方程中, 得到,如果由方程 F(x, y) = 0 確定隱函數(shù) y = f (x) 可導,解,兩邊對x尋求導,求由方程,( x 0 ),所確定的隱函數(shù)的導數(shù) y, 并求,方程兩邊關(guān)于 x 求導：,故,由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0,從而,解,故,求橢圓,對方程兩邊關(guān)于 x 求導得：,故所求切線的方程為：,解,整理后, 切線方程為：,參數(shù)方程求導法則,選擇一個適當?shù)膮?shù) t 后,的形式, 此式稱為函數(shù) y = f (x) 的參數(shù)方程.,y = f (x) 可表示為,1. 參數(shù)方程的概念,參數(shù)方程求導法則,參數(shù)方程求導法則：,設,利用反函數(shù)求導法則可證明該法則,橢圓上任意一點x處的切線的斜率為,故,從而, 所求切線方程為： y = b .,解,又,星形線是一種圓內(nèi)擺線,解,取對數(shù)求導法,然后, 對方程兩邊關(guān)于 x 求導：,方法:,在條件允許的情況下, 對 y = f (x) 兩邊,同時取對數(shù)：,注意：y 是 x 的函數(shù).,取對數(shù)求導法,取對數(shù)求導法常用來求一些 復雜的乘除式、根式、冪指函數(shù) 等的導數(shù).,運用取對數(shù)求導法,兩邊關(guān)于 x 求導：,故,解,運用取對數(shù)求導法,兩邊關(guān)于 x 求導：,解,整理得,對這類型的題用取對數(shù)求導法很方便哦！,運用取對數(shù)求導法,解,故,基本初等函數(shù)的導數(shù),導數(shù)的四則運算法則,反函數(shù)的導數(shù),復合函數(shù)求導法,隱函數(shù)的求導法,參數(shù)方程求導法,取對數(shù)求導法,求導方法小結(jié),按定義求導,3.4 高階導數(shù),3.4 高階導數(shù),一. 高階導數(shù)的概念,高階導數(shù)的運算法則,隱函數(shù)及參數(shù)方程 確定的函數(shù)的高階導數(shù),一. 高階導數(shù)的概念,推而廣之:,按照一階導數(shù)的極限形式, 有,和,一個函數(shù)的導函數(shù)不一定再可導, 也不一定連 續(xù). 如果函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 I 上有直到 n 階的導數(shù) f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是連續(xù)的 (此時低于 n 階的導 數(shù)均連續(xù) ), 則稱 f (x) 在區(qū)間 I 上 n 階連續(xù)可導, 記為,如果 f (x) 在區(qū)間 I 上的任意階的高階導數(shù)均存 在且連續(xù), 則稱函數(shù) f (x) 是無窮次連續(xù)可導的, 記為,解,注意, 當 k = n 時,綜上所述：,解,多項式,的高階導數(shù).,解,對多項式而言, 每求一次導數(shù) , 多項式的次數(shù)降低一次 ; n 次多項式的 n 階導數(shù)為一常數(shù) ; 大于多項式次數(shù)的任何階數(shù)的導數(shù)均為 0 .,求 y = ex 的各階導數(shù).,解,y = ex 的任何階導數(shù)仍為 ex,求 y = ax 的各階導數(shù).,解,運用數(shù)學歸納法可得,求 y = lnx 的各階導數(shù).,解,設,類似地, 有,則,故由數(shù)學歸納法得,解,注意這里的方法,即,類似地, 有,解,看出結(jié)論沒有？,運用數(shù)學歸納法可以證得,類似地 , 可求得,解,解,二階導數(shù)經(jīng)常遇到, 一定要掌握.,解,由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則, 得,解,高階導數(shù)的運算法則,設 f (x), g(x) 有直到 n 階的導數(shù), 則,(1),(2) 萊布尼茲公式,兩個基本公式,由于,故,解,解,由萊布尼茲公式,證,看出一點什么沒有？,你打算怎么處理此式？,對上式關(guān)于 x 求導 n 次：,故,即,隱函數(shù)及參數(shù)方程 確定的函數(shù)的高階導數(shù),原則是: 按照高階導數(shù)的定義, 運用隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則逐階進行求導.,對方程兩邊關(guān)于 x 求導:,解,想想如何求二階導數(shù)