(數(shù)值積分與微分的MATLAB命令).ppt

第8章 MATLAB數(shù)值積分與微分 8.1 數(shù)值積分 8.2 數(shù)值微分,8.1 數(shù)值積分 8.1.1 數(shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。,8.1.2 數(shù)值積分的實現(xiàn)方法 1變步長辛普生法(自適應(yīng)simpson積分法) 基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下 限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取 tol=10e-6。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0 則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取 trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。,例1 求定積分 (1) 建立被積函數(shù)文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77,例題2求定積分,quad(inline(exp(-x.2),-1,1,0.5e-4) 或者 quad(x)exp(-x.2),-1,1,0.5e-4),2牛頓柯特斯法 基于牛頓柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。,例3 求定積分。 (1) 被積函數(shù)文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2) 調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。 I=quad8(fx,0,pi) I = 2.4674,例4 分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。 調(diào)用函數(shù)quad求定積分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65,調(diào)用函數(shù)quad8求定積分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33,3非函數(shù)表達式梯形積分（被積函數(shù)由一個表格定義） 在MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。trapz(X,Y)采用梯形法計算Y在X點上的積分。 例5 用trapz函數(shù)計算定積分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量 trapz(X,Y) 例6 x=-1:0.1:1; y=exp(-x.2); trapz(x,y),4.自適應(yīng)Lobatto方法 quadl命令適用于光滑函數(shù)， quadl調(diào)用被積函數(shù)的次數(shù)明顯少于quad命令，而且精度比quad函數(shù)更高，其調(diào)用格式與quad一樣 I,n=quad(fname,a,b,tol,trace),5.quadgk 對振蕩的被積函數(shù)最有效，支持無限區(qū)間積分 （高版本版才有此命令）,8.1.3 重積分的數(shù)值求解 使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。,例 計算二重積分,dblquad( exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),-2,2,-1,1),6.quad2d 平面區(qū)域二重積分，可以做變上下限積分（高版本版才有此命令）,7.triplequad 用于計算長