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,2,第四節(jié) 對面積的曲面積分,求質量 m .,引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度,采用“分割, 近似, 求和, 取極限” 的方法，,可得,一. 對面積的曲面積分的概念與性質,3,定義:,設 為光滑曲面, f (x, y, z) 是定義在 上的一個,有界函數(shù), 若對 做任意分割和局部區(qū)域上任意取點,“乘積和式極限”,都存在,則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積的,曲面積分或第一類曲面積分.,記作,其中 f (x, y, z) 叫做被積函數(shù), 叫做積分曲面.,據此定義,曲面形構件的質量為,曲面面積為,4, 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上連續(xù), 則對面積的曲面,積分存在., 如果 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面,則有,對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分有類似的性質.,（k 為常數(shù)),5,定理: 設光滑曲面 由方程 z = z (x, y), 在 xoy 面上的投影區(qū)域為,f (x, y, z) 在 上連續(xù) ,存在, 且有,二. 對面積的曲面積分的計算法,給出 ,則曲面積分,證明: 由定義知,而,6,7,計算公式:,則,8,則,則,9,例1,解,10,11,解,依對稱性知：,12,13,14,例3,15,解,16,（左右兩片投影相同）,17,18,例4,解,19,20,例5. 計算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,解:,將 分成 、,21,例5. 計算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,另解: 取曲面面積元素,則,22,例6. 計算,其中 是球面,解: 利用對稱性可知,球心：,半徑：,23,四、小結,2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.,1、 對面積的曲面積分的概念;,（按照曲面的不同情況分為三種）,24,25,思考題,在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個因子的幾何意義.,26,思考題解答,是曲面元的面積

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