大地線的定義與性質.ppt

2.2.5 大地線,1、大地線的定義與性質 法截?。河蓹E球面上A點的法線與B點所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為A到B的法截弧。 相對法截?。?A到B的法截弧與B到A的法截弧。 由相對法截弧構成的橢球面三角形 不是閉合圖形。,2.2.5 大地線（續(xù)1）,大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。 大地線的性質：1、大地線上任何點的密切平面就是該點 的法截面； 2、曲面上連接任何兩點的最短直線必為 大地線。 3、大地線的測地曲率等于0 曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。 大地線的曲率： 大地線的撓率,2.2.5 大地線（續(xù)2）,2、大地坐標系中大地線的微分方程 (1). 大地線的二階微分方程 以u,v 為參數(shù)的一般曲面的大地線微分方程可表示為： 下標為相應的偏導數(shù)。,2.2.5 大地線（續(xù)3）,對于橢球面，有： 代入前面公式，得： 則旋轉橢球面上大地線的微分方程為：,2.2.5 大地線（續(xù)4）,(2). 克萊勞定理,直角坐標系中的橢球面方程：,橢球面法向量為：,以大地線弧長為參數(shù)的大地線主法線向量為：,兩者指向一致，即：,2.2.5 大地線（續(xù)5）,由上式的前兩個方程得：,將三維空間坐標與大地坐標的關系及其微分關系：,1,代入 式，整理得：,1,2,2.2.5 大地線（續(xù)6）,將關系： 即：大地線上各點的平行圈 半徑與該點的大地線方位角 正弦的乘積是常數(shù)。,代入上式，即得克萊勞定理：,2.2.5 大地線（續(xù)7）,(3). 大地線的一階微分關系式,由克萊勞定理，微分得：,2.2.5 大地線（續(xù)8）,又如圖所示：,代入上式，得：,三個微分關系式可整理為：,3,2.2.5 大地線（續(xù)9）,3、以弧長和大地方位角為參數(shù)的大地線方程,大地線始點坐標P0(B0,L0)，大地線上任何點的位置向量都可以展開成S,A的級數(shù)形式：,Frenet標架的坐標軸定義：x指向大地線的切向t， y指向大地線的主法向n，向內為正， z指向大地線的副法向b，構成左手系。,4,2.2.5 大地線（續(xù)10）,顯然有：,根據曲線論中的Frenet公式：,由以上兩式可求出各階導數(shù)：,2.2.5 大地線（續(xù)11）,將上式代入大地線展開式 ，得Frenet標架下的三維坐標：,4,5,顧及公式：,2.2.5 大地線（續(xù)12）,和：,求導得：,2.2.5 大地線（續(xù)13）,代入Frenet標架下的三維坐標公式 ，得：,5,2.2.5 大地線（續(xù)14）,將坐標系饒 y逆時針旋轉A， 得x”、y”、z”坐標系，則有：,以P0點為原點的地平坐標系(站心坐標系) x、y、z，與x”、y”、z”坐標系的關系為：,2.2.5 大地線（續(xù)15）,最后得到地平坐標系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級數(shù)。,6,2.2.5 大地線（續(xù)16）,法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標系中的計算式為：,2.2.5 大地線（續(xù)17）,4、基于大地線的橢球面曲線坐標系 (1). 大地線極坐標系 大地圓：到極點具有相同大地線長 度的點所構成的軌跡。 由大地線長度和大地方位角可描述 曲面點的位置 。,如圖所示：,對照第一基本形式，得：,由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標系中的微分關系式：,2.2.5 大地線（續(xù)18）,大地線的歸化長度 m 的計算公式：,由 式求出偏導數(shù)代入得：,6,2.2.5 大地線（續(xù)19）,(2). 測地坐標系,以過P0點的經線及其平行線為v曲線， 過P0點與經線正交的一族大地線為u曲線，構成的坐標格網稱為測地坐標系,測地坐標在v曲線方向用Sx， u曲線方向用Sy,即：,2.2.5 大地線（續(xù)19）,n 稱為測地平行線的歸化長度因子。,2.2.5 大地線（續(xù)20）,根據球面角超的定義，在球面直角三角形 中，球面角超為：,根據球面三角形的Legendre定理：,7,2.2.5 大地線（續(xù)21）,代入測地平行線的歸化長度因子公式，得：,精確到二次項時的歸化長度因子計算公式為：,則與子午弧長相應的測地平行線的弧長為：,習 題,1. 緯度相同的兩個點的相對法截弧是否