對坐標的曲面積分(7).ppt

第五節(jié) 對坐標的曲面積分,Chapter 11,一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對坐標的曲面積分的計算法,三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,24 - 2,1、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),(單側(cè)曲面的典型),一、 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),24 - 3,曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,24 - 4,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,播放,24 - 5,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè) 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè),側(cè)的規(guī)定,指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示 :,24 - 6, 設 為有向曲面,其面元,在 xOy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,24 - 7,2. 引例 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體（密度為1）的速度場為,求單位時間流過有向曲面 的流量 .,分析: (1) 若 是面積為S 的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,24 - 8,2. 引例 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體（密度為1）的速度場為,求單位時間流過有向曲面 的流量 .,（1）分割,則該點流速為,法向量為 .,24 - 9,（2）.求和,（3）.取極限,24 - 10,設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個,意分割和在局部面元上任意取點,分,記作,P, Q, R 叫做被積函數(shù);, 叫做積分曲面.,或第二類曲面積分.,下列極限都存在,向量場,若對 的任,3. 定義：,24 - 11,引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為,稱為Q 在有向曲面 上對 z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面 上對 x, y 的曲面積分.,稱為P 在有向曲面 上對 y, z 的曲面積分;,24 - 12,4、性質(zhì):,24 - 13,定理: 設光滑曲面,取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則,證:, 取上側(cè),二、對坐標的曲面積分的計算法,24 - 14, 若,則有, 若,則有,(前正后負),(右正左負),說明:,如果積分曲面 取下側(cè), 則,注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,24 - 15,解,24 - 16,例2. 計算,其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方,體的整個表面的外側(cè).,解:,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),24 - 17,例3. 設S 是球面,的外側(cè) , 計算,解: 利用輪換對稱性, 有,24 - 18,三、兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,24 - 19,令,向量形式,24 - 20,例4. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為,解:,24 - 21,例5. 設,是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計算,解:,24 - 22,例6. 計算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè).,24 - 23, 原式 =,原式 =,24 - 24,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系,24 - 25,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關,上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關, 一個與,24 - 26,2. 常用計算公式及方法,面積分,第一類 (對面積),第二類 (對坐標),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關坐標面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,24 - 27,當,時，,（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”),類似可考慮在 yOz 面及 zOx 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .,24 - 28,思考與練習,1. P227 題2,提示: 設,則, 取上側(cè)時, 取下側(cè)時,2. P244 題 1,3. P227 題3(3),24 - 29,是平面,在第四卦限部分的上側(cè) , 計算,提示:,求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分,P227 題3(3). 設,作業(yè) P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2),24 - 30,備用題 求,取外側(cè) .,解:,注意號,其中,24 - 31,利用輪換對稱性,24 - 32,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,24 - 33,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,24 - 34,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,24 - 35,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,24 - 36,典型