函數(shù)的極值與最大值最小值.ppt

2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,一、函數(shù)的極值,二、函數(shù)的最大值和最小值,一、函數(shù)的極值,1. 函數(shù)極值的定義,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,定義1,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,函數(shù)的極大值、極小值,是局部的.,在一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個極值，在整個定義域上，某一點的極大值，甚至可能小于極小值.,最大值與最小值,只是一點附近的,極大值,極小值,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,2. 極值的必要條件,極值,證明略. (費(fèi)馬引理),導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例如，, 可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點，但反過來駐點不一定是極值點；, 導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點.,例如，,0是駐點，但在(0,0)函數(shù)無極值,在(0,0)取得極小值，但0點不可導(dǎo),2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,定理2(第一充分條件),則,為極大值,則,不是極值.,(極小值);,3. 極值的充分條件,(1)如果在 左側(cè)附近，有,而在 右側(cè)附近，有,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,求極值的步驟:,及不可導(dǎo)點；,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例1,求函數(shù) 的極值.,解,得駐點,因此 不是極值.,因此 是極小值.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例2,解,因此,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,定理3 (第二充分條件),證 (1),因此,當(dāng),充分小時,由極限的保號性,可見,與,異號.,所以,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,定理3(第二充分條件)不能,應(yīng)用.,可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值.,例如,分別有極大值，極小值，無極值.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例3,解,得駐點,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,二、函數(shù)的最大值和最小值,閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值 ，,最大值和最小值可以在區(qū)間的端點達(dá)到，也可以在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,(1),其中最大(小)者就是 f (x)在a, b上的最大(小)值.,求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值的方法:,將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點,(2),點處達(dá)到.,處的函數(shù)值和區(qū)間端點的函數(shù)值 f (a), f (b)比較,當(dāng) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)時,最值必在端,若函數(shù)只有一個極值，這個唯一的極值是極大（?。┲?，則這個極值一定是最大（小）值.,(3),2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例4,解,得駐點,比較可知最大值為,最小值為,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,對實際問題求最值的步驟：,(1) 建立目標(biāo)函數(shù);,(2) 求最值;,若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點,則該點的函數(shù),值即為所求的最大(小)值.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例5,是產(chǎn)量Q的函數(shù)，且,問生產(chǎn)多少產(chǎn)品時總利潤最大？最大利潤是多少？,總利潤=總收益-總成本 =總收益-固定成本-生產(chǎn)成本,某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,解,總利潤L=R-U，,設(shè)生產(chǎn)的總成本函數(shù)為U，則U=20000+100Q，,只有一個駐點，而最大值一定存在，此駐點就是最大值點，,即當(dāng)產(chǎn)量為300件時，總利潤最大，為25000元.,L(300)=25000，,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,例6,河北滄州地區(qū)種植黑麥草作為飼料，單位土地面積上黑麥草的干物質(zhì)積累量m是積溫w的函數(shù)，,而隨著植物的生長，干物質(zhì)中的蛋白質(zhì)含量 的比例逐漸下降，經(jīng)驗公式為,討論蛋白質(zhì)含量隨積溫變化的情況.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,解,單位土地面積上黑麥草的蛋白質(zhì)含量的比例為,此函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算比較復(fù)雜，作近似計算,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,取,令,得w = 683，是最大值點，,此時收獲得到的蛋白質(zhì)數(shù)量最多；,令,得w =493，是增長曲線的拐點，,此時是蛋白質(zhì)數(shù)量增加最快的階段.,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,內(nèi)容小結(jié),2.9 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,1. 函數(shù)的極值,（2）極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點；,（3）極值的判別方法：第一充分條件，第二充分條件；,（1）極值的必要條件；,2. 函數(shù)的最值,（1）最值點應(yīng)在極值點或邊界點上 ;,（3）實際應(yīng)用題求最值的步驟 .,（2）最值是整體概念