圓錐曲線的綜合應用.ppt

1,第64講 圓錐曲線的綜合應用,2,掌握探究與圓錐曲線相關的最值問題、定點與定值問題、參變數(shù)取值范圍問題的基本思想與方法，培養(yǎng)并提升運算能力和思維能力.,3,1.已知R,則不論取何值，曲線C：x2-x-y+1=0恒過定點( ),D,A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1),由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1, 可知不論取何值,曲線C過定點(1,1).,依題設,即,解析,4,B,解析,5,B,解析,6,7,4.雙曲線x2-y2=4上一點P(x0,y0)在雙曲線的一條漸近線上的射影為Q，已知O為坐標原點，則POQ的面積為定值 .,1,如圖,雙曲線x2-y2=4的 兩條漸近線為y=x, 即xy=0. 又|PQ|= , |PR|= ， 所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.,解析,8,1.基本概念 在圓錐曲線中，還有一類曲線系方程，對其參數(shù)取不同值時，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問題.而當某參數(shù)取不同值時，某幾何量達到最大或最小，這就是我們指的最值問題.曲線遵循某種條件時，參數(shù)有相應的允許取值范圍，即我們指的參變數(shù)取值范圍問題.,9,2.基本求法 解析幾何中的最值和定值問題是以圓錐曲線與直線為載體，以函數(shù)、不等式、導數(shù)等知識為背景，綜合解決實際問題，其常用方法有兩種： (1)代數(shù)法：引入?yún)⒆兞?，通過圓錐曲線的性質(zhì)，及曲線與曲線的交點理論、韋達定理、方程思想等，用變量表示(計算)最值與定值問題，再用函數(shù)思想、不等式方法得到最值、定值；,10,(2)幾何法：若問題的條件和結(jié)論能明顯的體現(xiàn)幾何特征，利用圖形性質(zhì)來解決最值與定值問題. 在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關系，需要我們?nèi)ふ?對于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題,解法通常有兩種:當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時,11,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時0等），通過解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系時，則可先建立目標函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域.,12,題型一 定點、定值問題,已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一動點，且滿足| | |= . (1)求點P的軌跡C的方程； (2)已知點M(m,2)在曲線C上，過點M作直線l1、l2與C交于D、E兩點，且 l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=2,求證：直線DE過定點，并求此定點.,例1,13,(1)設P(x,y),則 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0). 因為| | |= ， 所以 2=2(x+1),即y2=4x, 所以點P的軌跡C的方程為y2=4x . (2)證明:由(1)知M(1,2),設D( ,y1),E( ,y2), 所以k1k2= =2, 整理得(y1+2)(y2+2)=8. ,解析,14,kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- , 所以直線DE的方程為y-y1= (x- ), 整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0, 即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0, 所以直線DE過定點(-1,-2).,15,與圓錐曲線有關的定點問題的探求一般途徑是恰當引入?yún)⒆兞浚瑢㈩}設轉(zhuǎn)化為坐標關系式，然后通過分析參變量取符合題設條件的任何一個值時，坐標關系式恒成立的條件，而獲得定點坐標.,評析,16,如圖，F(xiàn)1(-3,0),F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點,其一條漸近線方程為y= x,A1、A2是雙曲線C的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于A2的一 動點，直線A1P,A2P交直線 x= 分別于M、N兩點. (1)求雙曲線C的方程； (2)求證： 是定值.,素材1,17,(1)由已知，c=3, = . 又c2=a2+b2，所以a=2,b=5. 所求雙曲線C的方程為 =1. (2)證明：設P的坐標為(x0,y0),M、N的縱坐標分別為y1、y2, 因為A1(-2,0),A2(2,0), 所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).,解析,18,因為 與 共線， 所以(x0+2)y1= y0,y1= . 同理y2=- . 因為 =( ,y1), =(- ,y2), 所以 =- +y1y2=- - =- - =-10，為定值.,19,設F1、F2分別是橢圓 +y2=1的左、右焦點. (1)若P是該橢圓上的一個動點,求 的最大值與最小值； (2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.,例2,題型二 最值與范圍問題,20,(1)由方程易知a=2,b=1,c= ， 所以F1(- ,0),F2( ,0). 設P(x,y),則 =(- -x,-y)( -x,-y) =x2+y2-3 =x2+1- -3 = (3x2-8). 因為x-2,2，所以0x2， 故,解析,21,(2)顯然直線x=0不滿足題設條件， 可設直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得 (k2+ )x2+4kx+3=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30, 解得k 或k- . ,聯(lián)立方程組,22,又00, 得 0, 所以 =x1x2+y1y20. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= . 所以 + 0,即k24. 結(jié)合、知,k的取值范圍是(-2,- )( ,2).,23,圓錐曲線中求最值與范圍問題是高考題中的?？紗栴}，解決此類問題，一般有兩個思路：（1）構造關于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解（如本題第（2）問）；（2）構造關于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解（如本題第（1）問）.在解題的過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等.,評析,24,素材2,解析,25,26,題型三 圓錐曲線綜合問題,例3,27,解析,28,評析,29,拋物線有光學性質(zhì)，由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線的對稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p0),一光源在點M( ,4)處， 由其發(fā)出的光線沿平行于拋 物線的對稱軸的方向射向拋 物線上的點P,折射后又射向 拋物線上的點Q，,30,再折射后，又沿平行于拋物線的對稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點N，再折射后又射回點M. (1)設P、Q兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),證明：y1y2=-p2; (2)求拋物線的方程； (3)試判斷在拋物線上是否存在一點,使該點與點M關于PN所在的直線對稱?若存在,請求出此點的坐標;若不存在,請說明理由.,31,解析,(1)證明:由拋物線的光學性質(zhì)及題意知，光線PQ必過拋物線的焦點F( ,0),設直線PQ的方程為y=k(x- ). 由式得x= y+ ,將其代入拋物線的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0, 由韋達定理得y1y2=-p2. 當直線PQ的傾斜角為90時，將x= 代入拋物線方程得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=-p2.,32,(2)設光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點， 所以直線MN與直線QN關于直線l對稱. 設點M（ ，4）關于l的對稱點為M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1.,則,解得,33,直線QN的方程為y=-1,Q點的縱坐標為y2=-1. 由題設P點的縱坐標為y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,則4(-1)=-p2得p=2, 故所求拋物線的方程為y2=4x. (3)將y=4代入y2=4x得x=4， 故P點的坐標為（4，4）. 將y=-1代入直線l的方程2x-4y-17=0, 得x= ，故N點的坐標為( ,-1). 由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y-12=0.,34,設M點關于直線NP的對稱點M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1, 即M1( ,-1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解， 故拋物線上存在一點（ ，-1）與點M關于直線PN對稱.,則,解得,35,36,1.若探究直線或曲線過定點，則直線或曲線的表示一定含有參變數(shù)，即直線系或曲線系，可將其方程變式為f(x,y)+g(x,y)=0(其中為參變數(shù))，由