用數(shù)學(xué)思維解決物理題庫(kù)目.doc

第三講 常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，為物理概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具中學(xué)物理考試大綱中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力作出了明確要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”高考物理試題的解答離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題 所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說(shuō)，任何物理試題的求解過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題再經(jīng)過(guò)求解還原為物理結(jié)論的過(guò)程本講中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法處理中學(xué)物理問(wèn)題，常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等如下表：名稱內(nèi)容極限法1.三角函數(shù)求極值：y()=cos+sin，ymax=2.二次函數(shù)求極值：y=ax2+bx+c，ym=(a0時(shí)，有ymin；a0時(shí)，有ymax)3.均值不等式：a+b2( a0 ,b0), a+b+c3( a0 ,b0, c0)幾何法1.對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)、鏡像對(duì)稱2.兩點(diǎn)間的直線距離最短3.正弦定理： = = ；余弦定理：a2=b2+c2+2bccos4.全等、相似三角形的特征5.圓軌道及圓的相關(guān)性質(zhì)、圓方程圖象法1.直線型圖象：y=kx+b2.正(余)弦曲線型圖象3.拋物線型圖象4.描述一個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量變化的曲線等，如閉合電路中各物理量間關(guān)系數(shù)列法1.等差數(shù)列：其和Sn= =na1+d(d為公差)2.等比數(shù)列：Sn= ,a1為首項(xiàng)，q為公比，當(dāng)q1時(shí)，qn0.微元法無(wú)窮小等分，往往對(duì)其中的一個(gè)微元作處理.數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程由特殊到一般，歸納成某一通式，求解.三角函數(shù)變換sin2+cos2=1，sin2=2sincos，cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2方程法直線方程，一元二次方程的判別式，橢圓方程，二次函數(shù)，圓方程等另外還有比值法、不等式法探究思維拓展典題分析圖7-1【例1】 2008年高考上海卷4向量與矢量三角形 如圖7-1所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下，從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止沿直線ON斜向下運(yùn)動(dòng)，直線ON與y軸負(fù)方向成角（/4）。則F大小至少為_(kāi)；若Fmgtan，則質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能大小的變化情 況是_。跳出陷阱 某同學(xué)這樣解第2問(wèn)，若Fmgtan時(shí)，正好F力的方向沿著x軸正方向，因此外力F與運(yùn)動(dòng)位移方向成銳角，質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能增加。指點(diǎn)迷津 實(shí)際上該同學(xué)忽視了題干只給出外力F的大小，而未給出該力的方向。Fmgtan時(shí)，外力F的方向不僅僅為沿著x軸正方向，還可能有其它方向。為了能夠嚴(yán)密的找出Fmgtan時(shí)的所有可能性，需要運(yùn)用力的矢量三角形定則。正確析解 mgabcON圖7-2如圖7-2所示，質(zhì)點(diǎn)受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿著ON方向，將重力、外力、合力歸結(jié)到一個(gè)三角形中，該質(zhì)點(diǎn)受到重力和外力F從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如圖中顯示當(dāng)F力的方向?yàn)閍方向（垂直于ON）時(shí)，F(xiàn)力最小為mgsin；若Fmgtan，即F力可能為b方向或c方向，故F力的方向可能與運(yùn)動(dòng)方向相同，也可能與運(yùn)動(dòng)方向相反，除重力外的F力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做正功，也可能做負(fù)功，故質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能增加、減少都有可能。兩空分別填：mgsin，增大、減小都有可能。方法歸類 力的矢量三角形定則是從平行四邊形定則中演繹出來(lái)的新的數(shù)學(xué)方法，解決共點(diǎn)力問(wèn)題有很好的作用，特別是動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題、力的合成與分解中的多解分析，這樣的方法非常嚴(yán)密。矢量三角形的處理原則：1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向?qū)?yīng)矢量三角形的邊長(zhǎng)和方向，這點(diǎn)很重要，它直接確定了三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)邊；再比如墻壁上的彈力方向始終不變，這確定了動(dòng)態(tài)三角形中的某個(gè)邊的方向；2、找到“變”量，往往以某個(gè)力的角度發(fā)生變化引起三角形另外兩個(gè)邊的變化，有時(shí)候是邊長(zhǎng)變化、有時(shí)候是方向發(fā)生變化。NFfmg圖7-3一題多變 物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？畫龍點(diǎn)睛 該題的已知量只有和G，說(shuō)明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有和G ，但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。析解 方法一：如圖7-3，對(duì)物體受力分析，設(shè)拉力F與水平方向的夾角為，根據(jù)題意可列平衡方程式， 即Fcosf=0N+Fsin=Gf=N圖7-4聯(lián)立解得：,FFGFFFF圖7-5其中tan= ，故方法二：向量就是物理學(xué)中的矢量，當(dāng)物體受三力平衡時(shí)，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點(diǎn)到直線的垂直線段最短可求極值。對(duì)本題我們也可用矢量知識(shí)求極值。將摩擦力f和地面對(duì)木塊的彈力N合成一個(gè)力F，如圖7-4，F(xiàn)與豎直方向的夾角為tan= =（為一定值）。這樣木塊可認(rèn)為受到三個(gè)力:重力G，桌面對(duì)木塊的作用力F和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F(xiàn)方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如圖7-5所示。只有當(dāng)F與F垂直時(shí)，即拉力與水平方向成角時(shí)，拉力F最小為F=Gsin而 ，故圖7-6一題多變 2008年高考四川延考卷21正弦定理與矢量三角形兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個(gè)光滑的半球面內(nèi)，如圖7-6所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為，細(xì)桿長(zhǎng)度是球面半徑的倍。兩球處于平衡狀態(tài)時(shí)，細(xì)桿與水平面的夾角是 ( )A45B30C22.5D15畫龍點(diǎn)睛 通過(guò)對(duì)a和b兩小球的受力分析，抓住受力的共同特點(diǎn)：輕桿對(duì)小球的作用力等大、反向，以及重力均豎直向下，大小關(guān)系在題干已經(jīng)給出，還有重要的幾何關(guān)系即細(xì)桿的長(zhǎng)度是球面半徑的倍。分別將兩小球受到的共點(diǎn)力歸結(jié)到矢量三角形中，最后利用數(shù)學(xué)的正弦定理列方程求解。abOc圖7-7正確解析 如圖7-7，對(duì)a、b分別受力分析，將三個(gè)力歸結(jié)到三角形Oac與Obc中，由牛頓第三定律可設(shè)兩球受到桿的作用力大小Nac=Nbc，依題意可知，ab=Oa=Ob，故三角形Oab為等腰直角三角形?？稍O(shè)aOc=90bOc=，根據(jù)矢量三角形定則及正弦定理可得： = ， = ，解得=30，由幾何關(guān)系可得=15 。本題還有其他解法，比如杠桿平衡條件解題、利用質(zhì)心找到平衡點(diǎn)等方法，不妨試一試。追問(wèn) 1、試討論一下a球和b球質(zhì)量比為n發(fā)生變化時(shí)，細(xì)桿與水平面的夾角如何變化？2、若撤去光滑的半球面，Oa、Ob為細(xì)繩，a、b為同性電荷，其它條件不變，思考一下結(jié)果還是不是一樣？【例2】 2008年高考全國(guó)卷21不等式與極值 一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角射入，穿過(guò)玻璃磚自下表面射出。已知該玻璃對(duì)紅光的折射率為1.5。設(shè)紅光與藍(lán)光穿過(guò)玻璃磚所用的時(shí)間分別為t1和t2，則光線從0逐漸增大至90的過(guò)程中 ( )At1始終大干t2 Bt1始終小于t2Ct1先大干后小于t2 Dt1先小于后大于t2跳出陷阱高考中某些考生解法如下：設(shè)折射角為，玻璃磚的厚度為h，由折射定律n= ，且n= ，在玻璃磚中的時(shí)間為t= ，聯(lián)立解得t2= 。研究這個(gè)函數(shù)，若對(duì)變化的入射角，和不同光的折射率n，設(shè)紅光的折射率為n1，藍(lán)光的折射率為n2，且n2n11，討論：當(dāng)t紅2= t藍(lán)2時(shí)，有 = ，化簡(jiǎn)得sin2 = ，由sin21，可得n1時(shí)，即當(dāng)紅光的折射率n1=時(shí)出現(xiàn)極值，n1時(shí)，入射角從0逐漸增大至90的過(guò)程中，一定有t1t2 ，故B正確。實(shí)際上，當(dāng)sin2 ，即 45時(shí)，t1t2 。指點(diǎn)迷津?qū)嶋H上能夠在列出函數(shù)方程后，利用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)功底，應(yīng)用函數(shù)變化和不等式知識(shí)得到最后結(jié)果，是非常困難的，也會(huì)耗掉很多時(shí)間，這在高考臨場(chǎng)中是一大禁忌。我們不禁發(fā)問(wèn)高考物理試題難道要這么強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)功底才能解決問(wèn)題嗎？其實(shí)作為選擇題，有靈活的數(shù)學(xué)處理方法。本題存在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是給出的該玻璃對(duì)紅光的折射率為1.5這個(gè)條件。要想快速解題，列出簡(jiǎn)單的函數(shù)方程對(duì)計(jì)算量的簡(jiǎn)化和思維時(shí)間有很大的幫助。正確析解我們從時(shí)間的表達(dá)式開(kāi)始，t = = = = ，對(duì)紅光的折射角1，藍(lán)光的折射角2，則t紅 : t藍(lán)= ，由于1 2 ，故在2190，即145時(shí)總有t1t2 ，要入射角從0逐漸增大至90的過(guò)程中總成立，要求紅光的折射率n1= ，由于題干給定n1=1.5，故總有t1t2 ，B正確。方法歸類高考中對(duì)處理物理情景后列出數(shù)學(xué)函數(shù)方程，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式的知識(shí)靈活處理臨界問(wèn)題，一直是考生的一大瓶頸。處理臨界值問(wèn)題時(shí)可以考慮：1、運(yùn)用二次函數(shù)極值公式求極值；2、利用一元二次方程求極值；3、利用配方法求極值；4、利用不等式求極值；5、利用三角函數(shù)的有界性求極值；6、利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為同名三角函數(shù)）求三角函數(shù)極值；7、利用向量求極值；8、圖象法求極值；9、利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法求極值；以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及“界”的范圍。求最大和最小值問(wèn)題，這類問(wèn)題往往是物理學(xué)公式結(jié)合必要的教學(xué)知識(shí)才得出結(jié)論，這就要求學(xué)生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力。解決極值問(wèn)題的關(guān)鍵是扎實(shí)掌握高中物理的基本概念，基本規(guī)律，在分析清楚物理過(guò)程后，再靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。無(wú)論采用何種方法解物理極值問(wèn)題，首先都必須根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問(wèn)題的核心，決不能盲目地將物理問(wèn)題純數(shù)學(xué)化。一題多變 2008年高考全國(guó)卷15函數(shù)與極值一束單色光斜射到厚平板玻璃的一個(gè)表面上，經(jīng)兩次折射后從玻璃板另一個(gè)表面射出，出射光線相對(duì)于入射光線側(cè)移了一段距離。在下列情況下，出射光線側(cè)移距離最大的是 ( )A紅光以30的入射角入射B紅光以45的入射角入射C紫光以30的入射角入射D紫光以45的入射角入射跳出陷阱高考中某些考生思路如下：因?yàn)橥N介質(zhì)對(duì)紫光的折射率較大，故入射角相同時(shí)，紫光側(cè)移距離較大，排除A、B選項(xiàng)；設(shè)入射角為i，折射角為r，玻璃磚厚度為d則側(cè)移距離x = d(tanitanr)cosi，由n= 代入化簡(jiǎn)得：。指點(diǎn)迷津 這個(gè)函數(shù)已經(jīng)列出來(lái)了，思路上沒(méi)有出錯(cuò)，而且折射率n1時(shí)，x隨著入射角i的增大而增大，但要怎么該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)并不容易。通過(guò)精確畫圖的確可以很快得到結(jié)果，而且最大側(cè)移距離趨近于玻璃磚的厚度。利用數(shù)學(xué)函數(shù)分析以及高三教材的數(shù)據(jù)可以更加清晰的看到側(cè)移距離的變化。正確析解 Mm圖7-8我們重新列函數(shù)方程：x = ，在高三教材中，折射定律這一節(jié)有入射角與折射角的數(shù)據(jù)表格，從數(shù)據(jù)可知，入射角增大時(shí)，折射角也增大，且入射角與折射角的差值也在增大，故隨著入射角i的增大，sin(ir)增大，cosr減小，故x必定增大。從而選擇D選項(xiàng)。從這個(gè)結(jié)論中總結(jié)規(guī)律，同一種單色光，入射角增大時(shí)，側(cè)移距離逐漸增大到玻璃的厚度；同樣的入射角的前提下，折射率增大，側(cè)移距離增大?！纠?】 2007年高考全國(guó)卷24數(shù)學(xué)歸納法與碰撞 如圖7-8所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成60的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)。已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處。求經(jīng)過(guò)幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45。跳出陷阱這是一道碰撞中的動(dòng)量與能量守恒問(wèn)題，試題沒(méi)有給出磁場(chǎng)的阻尼作用如何產(chǎn)生，但給出了磁場(chǎng)，您考生容易產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)，以為要運(yùn)用磁場(chǎng)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。對(duì)于兩個(gè)金屬球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，題目給出的描述并不是一目了然。特別是碰撞多次，每次碰撞過(guò)程中絕緣球的動(dòng)能損失并不是一個(gè)常量，這給解決問(wèn)題帶來(lái)了困難。指點(diǎn)迷津?qū)τ诿看闻鲎策^(guò)程中絕緣小球的動(dòng)能損失量不是一個(gè)常量，那么有什么規(guī)律呢？為了找到規(guī)律，數(shù)學(xué)中常常以數(shù)學(xué)歸納法來(lái)尋找通項(xiàng)公式。正確析解設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、Vn。由于碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒、碰撞前后動(dòng)能相等，設(shè)速度向左，則解得： ，第n次碰撞后絕緣球的動(dòng)能為： E0為第1次碰撞前的動(dòng)能，即初始能量。絕緣球在060與45處的勢(shì)能之比為經(jīng)n次碰撞后有： 易算出(0.81)20656，(0.81)30.531，因此，經(jīng)過(guò)3次碰撞后小于45 。方法歸類該題除了考查碰撞中的動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律外，還運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法尋找通項(xiàng)公式，即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動(dòng)能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動(dòng)能與初動(dòng)能的關(guān)系。找不到這個(gè)通項(xiàng)關(guān)系，而使用遞推法解題的計(jì)算量會(huì)非常大。在解決某些物理過(guò)程比較復(fù)雜的具體問(wèn)題時(shí)，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的。此類題要求注意在書寫上的規(guī)范，以便于找出其中的規(guī)律。圖7-9一題多變 2008年高考四川卷25遞推法與碰撞 如圖7-9，一傾角為45的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h01m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）。小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過(guò)程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？畫龍點(diǎn)睛在小物塊與擋板的前4次碰撞過(guò)程中，每一次擋板給予小物塊的沖量是一個(gè)定量、還是變量，需要事先通過(guò)物理規(guī)律列方程求解，實(shí)際上試探第一次與第二次擋板給予小物塊的沖量即可知曉。在這里可以運(yùn)用兩種途徑來(lái)試探，一種是動(dòng)能定理，另一種是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。正確析解 方法一：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v。由功能關(guān)系得以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向。按動(dòng)量定理，碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量 設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h，則同理，有 式中，v為小物塊再次到達(dá)斜面底端時(shí)的速度，I為再次碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量。由式得式中 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns方法二：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，小物塊受到重力，斜面對(duì)它的摩擦力和支持力，小物塊向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a，依牛頓第二定律得 設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向。按動(dòng)量定理，碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量為由式得 設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a， 依牛頓第二定律有 小物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大高度為由式得 式中 同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量 由式得 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns【例4】 2007年高考上海8函數(shù)與物理圖象 物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，Ek代表動(dòng)能，Ep代表勢(shì)能，h代表下落的距離，以水平地面為零勢(shì)能面。下列7-10所示圖象中，能正確反映各物理量之間關(guān)系的是（ ）圖7-10跳出陷阱這是一道典型的函數(shù)與圖象數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)學(xué)科相聯(lián)系的試題。考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力。需要通過(guò)給定的運(yùn)動(dòng)列出物理運(yùn)動(dòng)方程，即拿出函數(shù)關(guān)系式。函數(shù)均為勢(shì)能EP與相關(guān)時(shí)間、速度、動(dòng)能、高度的關(guān)系。指點(diǎn)迷津 該題應(yīng)該從數(shù)學(xué)函數(shù)與物理圖象相聯(lián)系。在自由落體運(yùn)動(dòng)中，勢(shì)能與下落的高度成正比，下落的高度與時(shí)間的平方成正比；任意高度的勢(shì)能值等于該處的動(dòng)能值，與速度的平方成正比。再根據(jù)函數(shù)方程對(duì)應(yīng)的圖象即可獲取答案。正確析解由機(jī)械能守恒定律：EP=EEK，故勢(shì)能與動(dòng)能的圖像為傾斜的直線，C錯(cuò)；由動(dòng)能定理：EK =mgh=mv2=mg2t2，則EP=Emgh，故勢(shì)能與h的圖像也為傾斜的直線，D錯(cuò)；且EP=Emv2，故勢(shì)能與速度的圖像為開(kāi)口向下的拋物線，B對(duì)；同理EP=Emg2t2，勢(shì)能與時(shí)間的圖像也為開(kāi)口向下的拋物線，A錯(cuò)。本題答案B。方法歸類本題的突破口在于建立數(shù)學(xué)函數(shù)與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為圖象。考查了對(duì)圖象的理解與認(rèn)識(shí)。解決此類問(wèn)題往往需要理解圖象的物理意義，是一次函數(shù)還是二次函數(shù)或其它函數(shù)，一次函數(shù)中的斜率的大小、傾斜的方向、橫軸和縱軸的截距等都是重要信息；二次函數(shù)中要注意圖象的開(kāi)口、對(duì)稱軸以及與橫軸的交點(diǎn)等信息；還有圓方程、橢圓方程以及雙曲線方程等，都是要注意掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。一題多變 2008年高考海南卷5分段函數(shù)與圖象 一質(zhì)子和中于是由更基本的粒子即所謂“夸克”組成的兩個(gè)強(qiáng)作用電荷相反（類似于正負(fù)電荷）的夸克在距離很近時(shí)幾乎沒(méi)有相互作用（稱為“漸近自由”）；在距離較遠(yuǎn)時(shí)，它們之間就會(huì)出現(xiàn)很強(qiáng)的引力（導(dǎo)致所謂“夸克禁閉”）作為一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，設(shè)這樣的兩夸克之間的相互作用力F與它們之間的距離r的關(guān)系為：式中F0為大于零的常量，負(fù)號(hào)表示引力用U表示夸克間的勢(shì)能，令U0F0(r2r1)，取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)下列7-11所示Ur圖示中正確的是 （ ）圖7-11DU OU0 rr1r2AU OU0 rr1r2BU OU0 rr1r2CU OU0 rr1r2畫龍點(diǎn)睛該題在基本物理知識(shí)的背景下，實(shí)際上純粹考查數(shù)學(xué)知識(shí)，即數(shù)學(xué)分段函數(shù)的理解。能夠從物理知識(shí)與情景中找到數(shù)學(xué)分段函數(shù)即可獲取正確的圖象。在物理知識(shí)中需要運(yùn)用勢(shì)能值與兩夸克之間的相互作用力做功的值大小相等，這樣從無(wú)窮遠(yuǎn)處開(kāi)始逐漸縮小距離到r=r2，從r=r2到r=r1，從r=r1縮小到最小距離，三個(gè)過(guò)程，三段函數(shù)圖象。正確析解 從無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零開(kāi)始到r = r2位置，勢(shì)能恒定為零，在r = r2到r = r1過(guò)程中，恒定引力做正功，勢(shì)能逐漸均勻減小，即勢(shì)能為負(fù)值且越來(lái)越小，此部分圖像為A、B選項(xiàng)中所示；r r1之后勢(shì)能不變，恒定為U0，由引力做功等于勢(shì)能將少量，故U0=F0(r2r1)。本題答案B。訓(xùn)練能力提升【訓(xùn)1】 2008年高考四川卷18函數(shù)與物理圖象一物體沿固定斜面從靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0滑至斜面底端。已知在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機(jī)械能，則下列圖象中可能正確的是EOtt0DFOtt0AsOtt0CvOtt0B【答案】AD【解析】物體在沿斜面向下滑動(dòng)過(guò)程中，所受的合力為重力沿斜面向下的分力及摩擦力，故大小不變，A正確；而物體在此合力作用下作勻加速運(yùn)動(dòng)，v=at，s=at2，所以B、C錯(cuò)；物體受摩擦力作用，總的機(jī)械能將減小，D正確Fv【訓(xùn)2】 改編題函數(shù)與物理圖象 如圖所示，水平地面上放置一個(gè)質(zhì)量為m的物體，在與水平方向成角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面運(yùn)動(dòng)，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。求：（1）若物體在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，拉力F的大小范圍；（2）若物體受到拉力F的作用后，從靜止開(kāi)始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，2 s后撤去拉力，已知F100 N、m10 kg、0.5、37，撤去拉力后物體滑行的時(shí)間t；（3）已知m10 kg、0.5，若物體以恒定加速度a5 m/s2向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，維持這一加速度的拉力F的最小值?！窘馕觥?（1）要使物體運(yùn)動(dòng)時(shí)不離開(kāi)水平面，應(yīng)有Fsinmg， 要物體能向右運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fcosm（mgFsin），所以F（2）Fcosm（mgFsin）ma1，a16 m/s2，mmgma2，a25 m/s2， va1t1a2t2，所以t22.4s（3）Fcosm（mgFsin）ma，F(xiàn)F，其中asin1，當(dāng)sin（a）1時(shí)F有最小值，F(xiàn)min40N89.4N【訓(xùn)3】 模擬題矢量三角形 av水v開(kāi)sv合一條河寬L=60m，水速v水=4m/s，船在靜水中的開(kāi)行速度v開(kāi)=3m/s。（1）求小船渡河的最短時(shí)間t，這樣渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？【解析】（1）小船渡河的運(yùn)動(dòng)可看作是小船在靜水中的運(yùn)動(dòng)與水的運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成。由分運(yùn)動(dòng)之間互不影響，且河岸的寬度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的時(shí)間就越短，即當(dāng)小船船頭垂直于河岸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖a），時(shí)間最短：v水v開(kāi)sv合b tmin=L/v開(kāi)=60/3s=20s， s=v合tmin=520m=100m（2）運(yùn)動(dòng)的合成與分解遵循平行四邊形定則，由v開(kāi) v水，即小船不可能垂直到達(dá)對(duì)岸。只有當(dāng)v開(kāi)、v水兩個(gè)速度的合速度與河岸的夾角越大，則小船的實(shí)際位移越小。把代表v開(kāi)的有向線段移到代表v水的有向線段端點(diǎn)，如圖b所示，可見(jiàn)：改變船頭的方向，有向線段v開(kāi)的箭頭端點(diǎn)始終在一圓弧上。隨著船頭方向的改變，合速度的方向也隨之改變。只有當(dāng)船頭的朝向與合運(yùn)動(dòng)的方向垂直時(shí)， 有最小值。由幾何知識(shí)可得：cos=v開(kāi)/ v水=3/4，又cos=L/smin，即smin =80m?！居?xùn)4】 模擬題函數(shù)與極值 一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速度的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過(guò)程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？ vmgABCOLT【解析】當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成角的C時(shí)，重力的功率為：P=mgvcos=mgvsin小球從水平位置到圖中C位置時(shí)，機(jī)械能守恒有：mgLcos=mv2，聯(lián)立解得：P=mg，令y=cossin2= =根據(jù)：2cos2+sin2+sin2=2(sin2+cos2)=2，由基本不等式a+b+c3，定和求積知：當(dāng)且僅當(dāng)2cos2 = sin2，y有最大值。由2cos2=1cos2，得：cos=。即：當(dāng)cos=時(shí)，功率P有最大值?！居?xùn)5】 2008年高考四川卷24判別式與極值 如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開(kāi)口向下，固定在水平面上。整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下。一電荷量為q（q0）、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O。球心O到該圓周上任一