本科概率1-全概,習(xí)題課(白底).ppt

概 率 統(tǒng) 計(jì),全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.,綜合運(yùn)用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,1.4 全概率公式和貝葉斯公式,一. 全概率公式,例1 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.,解:記 Ai=球取自i號(hào)箱, B =取得紅球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運(yùn)用加法公式得,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.,對(duì)每一項(xiàng)運(yùn) 用乘法公式,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15,設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n,全概率公式,稱滿足上述條件的A1,A2,An為完備事件組.,則對(duì)任一事件B，有,證明,加法公式,乘法公式,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式,我們還可以從另一個(gè)角度去理解,全概率公式的關(guān)鍵：,數(shù)學(xué)模型,完備事件組,B表示產(chǎn)品為次品,分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn),完備事件組,全概率公式,例 3 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7 .飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率.,設(shè)B=飛機(jī)被擊落 Ai=飛機(jī)被i人擊中, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),為求P(Ai ) , 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3,P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.,加法公式,獨(dú)立性,該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?,實(shí)際中還有下面一類問題 “已知結(jié)果求原因”,這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.,某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.,或者問:,有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率 .,1,1紅4白,記 Ai=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; B =取得紅球,求P(A1|B).,運(yùn)用全概率公式 計(jì)算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,條件概率公式,二. 貝葉斯公式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找 導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.,設(shè)A1,A2,An是完備事件組，則對(duì)任一事件B，有,貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié) 果發(fā)生的最可能原因.,-后驗(yàn)概率,在B已經(jīng)發(fā)生的前提下， 再對(duì)導(dǎo)致 B 發(fā)生的 原因的可能性大小重新加以修正。,P( Ai ) -先驗(yàn)概率 它是由以往的經(jīng)驗(yàn)得到的，是事件 B的原因。,該產(chǎn)品由乙車間生產(chǎn)的可能性最大。,貝葉斯公式,例4 用甲胎蛋白檢測(cè)法(AFP)診斷肝病，已知確實(shí)患肝病者被診斷為肝病的概率為0.95，未患肝病者被誤診為肝病的概率為0.02，假設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.0004，現(xiàn)在有一個(gè)人被診斷為患有肝病，求此人確實(shí)為肝病患者的概率。,設(shè) A=肝病患者，B=被診斷為患有肝病，,由貝葉斯公式，,這一講我們介紹了,全概率公式,貝葉斯公式,它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,同學(xué)們可通過進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們.,值得一提的是，后來的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”. 可見貝葉斯公式的影響 .,概率統(tǒng)計(jì)第一章習(xí)題課,習(xí)題一,與第二問互為逆事件,9.某種植物有三種基因型：AA ， Aa ， aa. 每一基因的數(shù)量分別為200，600，50. 隨機(jī)抽取一個(gè)體，問 (1)其基因型為AA的概率是多少？ (2)其基因型為AA或aa的概率是多少？,11. 100件產(chǎn)品中有10件次品，用不放回的方式 取產(chǎn)品，每次1件，連取三次，求第三次才取得 次品的概率。,解 令 Ai 為第 i 次取到正品,13. 灌裝注射液需要四道工序，各道工序的廢品率分別為0.5% ，0.2%，0.1%，0.8%，假設(shè)各道工序是否合格是獨(dú)立的，求經(jīng)四道工序全部合格的概率。,記 Ai=第 i 道工序合格 i=1，2，3，4,利用獨(dú)立性,14. 為了提高抗菌素的產(chǎn)量和質(zhì)量，需要對(duì) 菌種進(jìn)行培養(yǎng)，如果某菌種的優(yōu)良變異率p 為0.03，試問從一大批菌株中，采取多少只來培養(yǎng)，才能以 95 % 的把握從中至少可以 選到一只優(yōu)良菌株？,設(shè)需采取n只來培養(yǎng) ，Ai 表示出現(xiàn) i只優(yōu)良菌株,獨(dú)立性,教材例題類似,18. 甲、乙兩射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.8與0.9 ， 如果同時(shí)獨(dú)立地射擊一次,求下列概率： (1) 兩人都命中； (2) 恰有一人命中； (3) 至少一人命中； (4) 兩人都不中。,獨(dú)立性,19. 某集成電路能用2000小時(shí)的概率為 0.92, 能用3000小時(shí)的概率為0.85 , 求已 用了2000小時(shí)的集成電路能用到3000 小時(shí)的概率。,解 令 A集成電路能用到2000小時(shí) B集成電路能用到3000小時(shí),所求概率為,20. 日光燈使用壽命在3000小時(shí)以上的概率為0.8, 求3只日光燈在使用3000小時(shí)后, (1)都沒有壞的概率； (2)壞了一個(gè)的概率； (3)最多只有一只損壞的概率.,3重伯努利試驗(yàn),21.某單位有12臺(tái)電腦，各臺(tái)電腦是否被使用是獨(dú)立的，每臺(tái)電腦被使用的概率為0.7，問在同一時(shí)刻有9臺(tái)或更多電腦被使用的概率是多少?,在同一時(shí)刻觀察12臺(tái)電腦，它們工作與否是 相互獨(dú)立的，故可視為12重伯努里試驗(yàn),22.一個(gè)人的血型為O, A, B, AB型的概率分別為0. 46, 0. 40, 0. 11和0. 03. 現(xiàn)任選五人，求下列事件的概率：(1) 恰有兩人為O型； (2) 三人為O型，兩人為A型； (3) 沒有一人為AB型.,23.口袋中a只黑球，b只白球 隨機(jī)地一只一只摸， 摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率,解法1：把球編號(hào)，按摸的次序把球排成一列， 樣本點(diǎn)總數(shù)就是a +b個(gè)球的全排列數(shù) (a +b)! 所考察的事件相當(dāng)于在第k 位放黑球，共有a種放法， 每種放法又對(duì)應(yīng)其它a+b1個(gè)球的(a+b1)! 種放法, 故該事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為a(a+b1)!。,解法2：只考慮前k個(gè)位置：,解,抽簽理論,乘法公式,全概率公式,獨(dú)立性,3重伯努利試驗(yàn),從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？,下面的算法錯(cuò)在哪里？,錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.,從5雙中取1雙，從剩 下的 8只中取2只,思考題,正確的答案是：,請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？,思考題,一個(gè)元件(