微分方程數(shù)值解第一章答案.ppt

1,北京中國(guó)地質(zhì)大學(xué) China University of Geosciences，Beijing,微分方程數(shù)值解法,教材： 微分方程數(shù)值方法 (第二版)， 胡健偉,湯懷民著, 科學(xué)出版社, 2007,2,參考書(shū): 微分方程數(shù)值解法 李榮華等編, 高教出版社,2,參考書(shū): 微分方程數(shù)值解法 李榮華等編, 高教出版社 課堂授課+計(jì)算實(shí)驗(yàn) 考核方式: 平時(shí)作業(yè)+課堂+期末考試 任課教師,3,第一章、常微分方程的數(shù)值解法 第二章、橢圓型方程的差分方法 第七章、橢圓型方程的有限元方法 第四章、拋物型方程的差分方法 第五章、雙曲型方程的差分格式,教學(xué)內(nèi)容,第一章 基本概念,4,第一章 常微分方程初值問(wèn)題 的數(shù)值解法,教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)過(guò)程,5,教學(xué)目標(biāo),了解ODE數(shù)值解法的基本內(nèi)容, 掌握Euler法和線性多步方法, 會(huì)判斷常用方法的優(yōu)劣之處.,第一章 基本概念,6,教學(xué)重點(diǎn),基本概念和Euler法 線性多步方法 穩(wěn)定性,第一章 基本概念,7,教學(xué)過(guò)程,常微分方程基本概念 常微分方程初值問(wèn)題 Euler法及其基本問(wèn)題 線性多步方法 數(shù)值穩(wěn)定性 Runge-Kutta方法,8,1: 常微分方程的基本概念,微分方程: 常微分方程和偏微分方程 階 解，通解和特解 定解問(wèn)題: 初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題,9,常微分方程,偏微分方程,聯(lián)系著自變量, 未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(微分)的方程, 稱為微分方程 .,:未知函數(shù)是一元函數(shù),分類,微分方程: 常微分方程和偏微分方程,:未知函數(shù)是多元函數(shù),10,方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.,一階微分方程,三階微分方程,一階微分方程,例如：,微分方程的階,11, 是使方程成為恒等式的函數(shù).,通解, 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,的階數(shù)相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常數(shù)的解.,（微分方程的絕大部分解）,解, 通解, 特解,12, 確定通解中任意常數(shù)的條件.,1) n 階方程的初始條件(或初值條件):,定解條件,定解條件: 初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題,2) n 階方程的邊界條件(或邊值條件):,13,2 初值問(wèn)題：標(biāo)量形式,考慮一階常微分方程初值問(wèn)題：,存在性：f(t,u)在定義域上連續(xù),唯一性：f(t,u)關(guān)于u滿足Lipschitz條件,14,常微分方程來(lái)源舉例1,問(wèn)題1.1 上上世紀(jì)初英國(guó)物理學(xué)家Rutherford發(fā)現(xiàn)放射性元素的原子是不穩(wěn)定的,在每一段時(shí)間內(nèi)總有一定比例的原子自然衰變而形成新元素的原子. 記t時(shí)刻放射性物質(zhì)的原子數(shù)為x(t), 據(jù)觀測(cè)單位時(shí)間內(nèi)衰變?cè)拥膫€(gè)數(shù)x與當(dāng)時(shí)放射性原子數(shù)x(t)之比為常數(shù)a. 考慮到放射過(guò)程中 x0, 因此a0為負(fù)實(shí)數(shù). 這時(shí)有方程,15,問(wèn)題1.2 世界上生物種類多種多樣, 對(duì)特定生物種群的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè),是制定對(duì)該生物實(shí)施保護(hù)還是控制的依據(jù). 設(shè)t時(shí)刻某種群的數(shù)量為x(t),單位時(shí)間內(nèi)種群數(shù)量的增加量 x和當(dāng)時(shí)數(shù)量的比值為a-bx(t),其中a, b0為常數(shù). 這樣得到方程,常微分方程來(lái)源舉例2,Logistic方程,16,問(wèn)題1.3 并不是所有的方程可以用初等積分法求出其解, 例如形式上很簡(jiǎn)單的里卡蒂(Riccati)方程,常微分方程舉例3,不能用初等函數(shù)表示通解.,尋求方程非解析函數(shù)的其它形式解, 顯得非常必要。而數(shù)值求解就是其重要的一個(gè)方法,17,2 Euler方法,18,計(jì)算在離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）的值，有,這就是Euler法的計(jì)算公式,19,舉例1,利用Euler方法計(jì)算初值問(wèn)題,的解在t=0.3處的數(shù)值解.步長(zhǎng)h=0.1,解: Euler公式為:,20,舉例2,P55 習(xí)題1 利用Euler方法求數(shù)值解,步長(zhǎng)h=0.1, 解區(qū)間0,1,繪制折線，與真解比較,21,Matlab實(shí)現(xiàn) u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9 u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=u0,u； plot(t,un,ro,Linewidth,2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,Linewidth,2),22,0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1,精確解ut,數(shù)值解un,節(jié)點(diǎn) ti,1.0000 1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401 1.4071 1.4775 1.5513 1.6289,1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487,23,Euler方法的三種解釋,數(shù)值微分：用差商來(lái)代替導(dǎo)數(shù) 數(shù)值積分：把微分方程變成積分方程 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：將u(t+h) 在t 做Taylor展開(kāi),24,截?cái)嗾`差(局部、整體) 相容性 收斂性 穩(wěn)定性,數(shù)值方法的基本問(wèn)題,25,局部截?cái)嗾`差,設(shè)u(t)是初值問(wèn)題(1)的解, 在t,t+h上定義算子,那么, R(t, u;h)稱為局部截?cái)嗾`差,如果t=tn,局部截?cái)嗾`差也記為,此時(shí),26,整體截?cái)嗾`差,設(shè)u(t)是初值問(wèn)題(1)的解, un是(2)的解,定義算子,那么, n稱為整體截?cái)嗾`差,與局部截?cái)嗾`差不同, 此時(shí),未必成立, 且一般,27,截?cái)嗾`差,局部截?cái)嗾`差Rn：假設(shè)第n步精確計(jì)算的前提下，計(jì)算解un+1和精確解u(tn+1)的誤差 整體截?cái)嗾`差n：在考慮誤差累積的效應(yīng)下，計(jì)算解un和精確解u(tn)的誤差,28,相容性和相容的階,相容性針對(duì)的是建立差分格式時(shí)由差商代替微商所引起的局部截?cái)嗾`差. q階相容: 若一個(gè)離散變量方法的局部截?cái)嗾`差對(duì)任意n滿足：,29,收斂性與收斂的階,收斂性研究的是誤差累積產(chǎn)生的整體截?cái)嗾`差. 收斂：對(duì)任意的t(t0,T ，成立 若此時(shí)，整體截?cái)嗾`差滿足 則稱方法的收斂為p階的,30,穩(wěn)定性,在利用公式(2)計(jì)算數(shù)值解的過(guò)程中,難免有舍入誤差.穩(wěn)定性就是討論舍入誤差是否會(huì)隨著計(jì)算無(wú)限擴(kuò)大地傳遞下去. 數(shù)值方法穩(wěn)定性指對(duì)初始誤差的連續(xù)依賴性,以線性k步方法為例，即為存在常數(shù)C和h00,使得當(dāng)h(0,h0 時(shí) 這里常數(shù)C不依賴于h。通常這里定義的穩(wěn)定性指 h0 情況下的穩(wěn)定性。,31,Eular方法的性質(zhì),相容性 (1階) 收斂性 (1階) 穩(wěn)定性 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域,32,總結(jié)：基本步驟, 解差分方程，求出格點(diǎn)函數(shù), 對(duì)區(qū)間作分割：,求 y(x) 在xi 上的近似值yi。, 由微分方程出發(fā)，建立求格點(diǎn)函數(shù)的差分方程。 這個(gè)方程應(yīng)該滿足：,A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容,目的,關(guān)鍵,33,為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實(shí)用價(jià)值， 需要知道如下幾個(gè)結(jié)論：, 步長(zhǎng)充分小時(shí)，所得到的數(shù)值解能否逼近 問(wèn)題得真解；即收斂性問(wèn)題, 誤差估計(jì),產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計(jì)算中，是否會(huì) 無(wú)限制擴(kuò)大；穩(wěn)定性問(wèn)題,34,數(shù)值求解微分方程過(guò)程示意,微分方程,區(qū)域剖