偏微分方程數(shù)值解(2).pptVIP

第十章 偏微分方程數(shù)值解,一、典型的偏微分方程介紹,1. 橢圓型方程,Laplace 方程,Poisson方程,2. 拋物型方程,熱傳導(dǎo)方程,其中a是常數(shù)。它表示長度為L的細(xì)桿內(nèi)，物體溫度分布的規(guī)律,土壤水運(yùn)動(dòng)方程：,溶質(zhì)運(yùn)移方程：,（水流穩(wěn)態(tài)）,（瞬態(tài)）,3雙曲型方程,波動(dòng)方程,它表示長度為L的弦振動(dòng)的規(guī)律。,二、定解問題,決定方程唯一解所必須給定的初始條件和邊界條件,叫做定解條件,邊界條件,初始條件,計(jì)算機(jī)只能作有限次的加、減、乘、除運(yùn)算， 它既不能求導(dǎo)數(shù)，更不能解偏微分方程。如果想 在計(jì)算機(jī)上求得微分方程數(shù)值解，它的主要做法 是把偏微分方程中所有的偏導(dǎo)數(shù)分別用差商代替， 從而得到一個(gè)代數(shù)方程組差分方程組，然后 對(duì)差分方程求解，并以所求的解作為偏微分方程 數(shù)值解。,10.1 差分法簡介,對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分，用網(wǎng)格點(diǎn)來代替連續(xù)區(qū)域，,因此差分法亦稱“網(wǎng)格法”。,把整體分割成若干個(gè)單元來處理問題的方法在,數(shù)學(xué)上稱為“離散化方法”,在結(jié)點(diǎn)上采用離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、,泰勒展開等）將微分方程的初邊值問題化成關(guān)于,離散變量的相應(yīng)問題，這個(gè)相應(yīng)問題的解就是方程,在點(diǎn)xi上的數(shù)值解f(x)，或在點(diǎn)（xi , ti）上的數(shù)值解,U( xi , ti)。一般來說，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。,例：取一邊長為1的正方形均勻薄板，上下側(cè)面絕熱，四周保持恒溫，求板內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)定溫定分布。,Laplace 方程第一邊值問題,記,u在這些點(diǎn)滿足方程,得到u (i, k)的近似ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組：,其中,用迭代法來解方程組,簡單迭代法,高斯賽德爾迭代法,用差分法解偏微分方程需要考慮三個(gè)問題：,1選用網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程。,2當(dāng)網(wǎng)格步長h 0時(shí)差分方程的準(zhǔn)確解是否 收斂于微分方程的解？,3如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？,10.2 橢圓型方程的差分解法,橢圓型方程最簡單的典型問題就是拉普拉斯方程,泊松方程,考慮泊松方程第一邊值問題：,(一) 矩形網(wǎng)格,設(shè)為xy平面上一有界區(qū)域，為其邊界， 是分段光滑曲線。,正則內(nèi)點(diǎn),非正則內(nèi)點(diǎn),邊界點(diǎn),（二）五點(diǎn)差分格式,現(xiàn)在假設(shè)（i，k）為正則內(nèi)點(diǎn)。沿著x，y軸方向分別用 二階中心差商代替uxx，uyy，則得,若以u(píng)h，fh表示網(wǎng)函數(shù)，記,則差分方程可簡寫成：,利用Taylor展式,這四個(gè)式子兩兩相加便有：,于是可得差分方程的截?cái)嗾`差,（三）邊值條件的處理,：非正則內(nèi)點(diǎn)集合,h ：邊界點(diǎn)集合,（1）直接轉(zhuǎn)移法,對(duì)（xi, yk） ，用邊界上距離這點(diǎn)最近的點(diǎn)的值 作為（xi, yk）的值，即,（2）線性插