函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用(10).ppt

,第六節(jié),一、近似計(jì)算,二、歐拉公式,函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第九章,一、近似計(jì)算,例1. 計(jì)算,的近似值, 精確到,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算,的近似值 ,使準(zhǔn)確到,解: 已知,故,令,得,于是有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在上述展開式中取前四項(xiàng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 在展開式,中,令,得,具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù) . 如,( n為自然數(shù)) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 利用,求,誤差.,解: 先把角度化為弧度,(弧度),誤差不超過,的近似值 , 并估計(jì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 取,例4. 計(jì)算積分,的近似值, 精確到,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則 n 應(yīng)滿足,則所求積分近似值為,欲使截?cái)嗾`差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算積分,的近似值, 精確到,解: 由于,故所給積分不是廣義積分.,若定義被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1,則它在積分區(qū)間,上連續(xù), 且有冪級數(shù)展開式 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、歐拉(Euler)公式,則稱 收斂 , 且其和為,絕對收斂,收斂 .,若,收斂,若,對復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),絕對收斂,則稱 絕對收斂.,由于, 故知,歐拉 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義: 復(fù)變量,的指數(shù)函數(shù)為,易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對收斂 .,當(dāng) y = 0 時(shí), 它與實(shí)指數(shù)函數(shù),當(dāng) x = 0 時(shí),的冪級數(shù)展式一致.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,（歐拉公式）,（也稱歐拉公式）,利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,據(jù)此可得,(德莫弗公式),利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗(yàn)證,特別有,作業(yè) P229 1(2) , (4) ; 2 (2),第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,歐拉 (1707 1783),瑞士數(shù)學(xué)家.,他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典,著作,如無窮小分析引論 , 微,還,寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支 (如無窮級數(shù), 微分方程) 與微分幾何的產(chǎn)生和,發(fā)展奠定了基礎(chǔ).,分學(xué)原理 , 積分學(xué)原理等,為分析學(xué)的重,