2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第1節(jié)任意角和弧度制(第1課時(shí))任意角教案.docx_第1頁
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文檔簡介

第1課時(shí)任意角核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P2P5的內(nèi)容,回答下列問題(1)閱讀教材P2“思考”的內(nèi)容,你的手表慢了5分鐘,你是怎樣將它校準(zhǔn)的?假如你的手表快了1.25個(gè)小時(shí),你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)?在你調(diào)整的過程中,分針轉(zhuǎn)動(dòng)的方向有什么區(qū)別?提示:當(dāng)手表慢了5分鐘時(shí),通常將分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)進(jìn)行調(diào)整;當(dāng)手表快了1.25小時(shí)時(shí),通常將分針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)進(jìn)行調(diào)整故在調(diào)整的過程中兩種情形分針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反(2)體操中有“轉(zhuǎn)體720”(即“轉(zhuǎn)體2周”),“轉(zhuǎn)體1 080”(即“轉(zhuǎn)體3周”)這樣的動(dòng)作名稱,而旋轉(zhuǎn)的方向也有順時(shí)針與逆時(shí)針的不同;又如圖是兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖,被動(dòng)輪隨著主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn),而且被動(dòng)輪與主動(dòng)輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向這樣,OA繞O旋轉(zhuǎn)所成的角與OB繞O旋轉(zhuǎn)所成的角就會(huì)有不同的方向利用我們以前學(xué)過的0360范圍的角,還能描述以上現(xiàn)象嗎?提示:要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象,不僅要知道角形成的結(jié)果,而且要知道角形成的過程,即必須既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向故利用0360范圍的角,無法描述以上現(xiàn)象(3)閱讀教材P3“探究”的內(nèi)容,請(qǐng)思考:對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么這些終邊相同的角有什么關(guān)系?提示:不唯一它們之間相差360的整數(shù)倍,即相差k360(kZ)2歸納總結(jié),核心必記(1)角的有關(guān)概念有關(guān)概念描述定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形圖示其中O為頂點(diǎn),OA為始邊,OB為終邊記法角或,或簡記為(2)角的分類按角的終邊位置()角的終邊在第幾象限,則此角稱為第幾象限角;()角的終邊在坐標(biāo)軸上,則此角不屬于任何一個(gè)象限(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360,kZ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和 問題思考(1)你能說出角的三要素嗎?提示:角的三要素是頂點(diǎn)、終邊、始邊(2)如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合,這個(gè)角一定是零角嗎?提示:不一定,零角的終邊與始邊重合,但終邊與始邊重合的角不一定是零角,如360,360等(3)一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多,則這個(gè)角越大,這樣說對(duì)嗎?提示:不對(duì),如果一條射線繞端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),則它形成負(fù)角,旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多,則這個(gè)角越小(4)在坐標(biāo)系中,將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸形成的角為90,這種說法是否正確?提示:不正確,在坐標(biāo)系中,將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸時(shí),是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的,故它形成的角為90.(5)當(dāng)角的始邊和終邊確定后,這個(gè)角就被確定了嗎?提示:不是的雖然始、終邊確定了,但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小并沒有確定,所以角也就不能確定(6)初中我們學(xué)過對(duì)頂角相等依據(jù)現(xiàn)在的知識(shí)試判斷一下圖中角,是否相等?提示:不相等角為逆時(shí)針方向形成的角,為正角;角為順時(shí)針方向形成的角,為負(fù)角課前反思(1)角的概念: ;(2)角的分類: ;(3)終邊相同的角: .知識(shí)點(diǎn)1終邊相同的角及區(qū)域角的表示思考1終邊相同的角一定是相等的角嗎?它們之間有什么關(guān)系?如何把這一類角表示出來?名師指津:不一定相等的角的終邊一定相同,但終邊相同的角不一定相等,它們相差360的整數(shù)倍可以用集合|k360,kZ表示思考2區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域的角,區(qū)域角如何表示?名師指津:區(qū)域角可以看作是某一范圍內(nèi)的終邊相同角的集合故可把區(qū)域的起始、終止邊界表示出來,然后組成集合即可講一講1(1)寫出與1 910終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式720360的元素寫出來(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合嘗試解答(1)與角1 910終邊相同的角的集合為|1 910k360,kZ720360,7201 910k360360,3k6.故k4,5,6,k4時(shí),1 9104360470.k5時(shí),1 9105360110.k6時(shí),1 9106360250.(2)在0360范圍內(nèi),終邊在直線y0上的角有兩個(gè),即0和180,因此,所有與0角終邊相同的角構(gòu)成集合S1|0k360,kZ,而所有與180角終邊相同的角構(gòu)成集合S2|180k360,kZ,于是,終邊在直線y0上的角的集合為SS1S2|k180,kZ由圖形易知,在0360范圍內(nèi),終邊在直線yx上的角有兩個(gè),即135和315,因此,終邊在直線yx上的角的集合為S|135k360,kZ|315k360,kZ|135k180,kZ終邊在直線yx上的角的集合為|45k180,kZ,結(jié)合知所求角的集合為S|45k180,kZ|135k180,kZ|452k90,kZ|45(2k1)90,kZ|45k90,kZ(3)終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360,kZ|135k360,kZ,終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360,kZ故陰影部分角的集合可表示為|30k360135k360,kZ類題通法(1)在0360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法把任意角化為k360(kZ且0360)的形式,關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(的絕對(duì)值較小),也可用除法要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值(2)區(qū)域角的寫法可分三步按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角,寫出所有與,終邊相同的角;用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角,組成集合練一練1已知角2 018.(1)把改寫成k360(kZ,0360)的形式;(2)求,使與終邊相同,且360720.解:(1)由2 018除以360,得商為5,余數(shù)為218,取k5,218,5360218.(2)與2 018角終邊相同的角為k3602 018(kZ)令360k3602 018720,kZ,k取6,5,4,將k的值代入k3602 018中,得角的值為142,218,578.知識(shí)點(diǎn)2象限角的判斷思考1若為第一象限角,則的頂點(diǎn)、始邊、終邊各有什么特點(diǎn)?提示:若為第一象限角,則的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、始邊與x軸的正半軸重合,終邊處在第一象限思考2如何判定象限角?提示:(1)根據(jù)圖形判定;(2)根據(jù)終邊相同的角的概念判定講一講2已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊落在x軸的非負(fù)半軸上,作出下列各角,并指出它們是第幾象限角(1)75;(2)855;(3)510.嘗試解答作出各角,其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示:(1)由圖可知:75是第四象限角(2)由圖可知:855是第二象限角(3)由圖可知:510是第三象限角類題通法給定角所處象限的判定方法法一:第一步,將寫成k360(kZ,0360)的形式第二步,判斷的終邊所在的象限第三步,根據(jù)的終邊所在的象限,即可確定的終邊所在的象限法二:在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角,觀察終邊的位置,角的終邊落在第幾象限,此角就是第幾象限角練一練2(1)已知下列各角:120;240;180;495.其中是第二象限角的是()ABCD(2)若是第四象限角,則180是第_象限角解析:(1)120角是第三象限角;240角是第二象限角;180角不在任何一個(gè)象限內(nèi);495360135,所以495角是第二象限角(2)因?yàn)槭堑谒南笙藿牵匀?0,則180200,為第三象限角答案:(1)D(2)三知識(shí)點(diǎn)3n或所在象限的判定講一講3若是第二象限角,則2,分別是第幾象限的角?嘗試解答(1)是第二象限角,90k360180k360(kZ),180k7202360k720,2是第三或第四象限的角,或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)是第二象限角,90k360180k360(kZ),45k18090k180(kZ)法一:當(dāng)k2n(nZ)時(shí),45n36090n360(nZ),即是第一象限角;當(dāng)k2n1(nZ)時(shí),225n360270n360(nZ),即是第三象限角故是第一或第三象限角法二:45k180表示終邊為一、三象限角平分線的角,90k180(kZ)表示終邊為y軸的角,45k18090k180(kZ)表示如圖中陰影部分圖形即是第一或第三象限角類題通法(1)n所在象限的判斷方法確定n終邊所在的象限,先求出n的范圍,再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可(2)所在象限的判斷方法已知角所在象限,要確定角所在象限,有兩種方法:用不等式表示出角的范圍,然后對(duì)n的取值分情況討論:被n整除;被n除余1;被n除余2;被n除余n1.從而得出結(jié)論作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線,它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域從x軸非負(fù)半軸起,按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.的終邊在第幾象限,則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域,就是的終邊所落在的區(qū)域如此,所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出練一練3若角是第一象限角,則,2,分別是第幾象限角?解:是第一象限角,k360k36090(kZ)(1)k36090k360(kZ),所在區(qū)域與(90,0)范圍相同,故是第四象限角(2)2k36022k360180(kZ),2所在區(qū)域與(0,180)范圍相同,故2是第一、二象限角或終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角(3)法一(分類討論):k120k12030(kZ)當(dāng)k3n(nZ)時(shí),n360n36030,是第一象限角;當(dāng)k3n1(nZ)時(shí),n360120n360150,是第二象限角;當(dāng)k3n2(nZ)時(shí),n360240n360270,是第三象限角綜上可知,是第一、第二或第三象限角法二(幾何法):如圖,先將各象限分成3等份,再從x軸的正向的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4,則標(biāo)有1的區(qū)域即為角的終邊落在的區(qū)域,故為第一、第二或第三象限角課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是象限角的判斷、終邊相同角及區(qū)域角的表示,難點(diǎn)是n及所在象限的判定2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握以下規(guī)律方法(1)求終邊相同的角及區(qū)域角的表示,見講1;(2)象限角及n、所處象限的判斷,見講2和講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有以下幾點(diǎn)(1)對(duì)于角的理解,要明確該角是按順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角(2)把任意角化為k360(kZ,且0360)的形式,關(guān)鍵是確定k,可以用觀察法(的絕對(duì)值較小),也可以用除法(3)已知角的終邊范圍,求角的集合時(shí),先寫出邊界對(duì)應(yīng)的角,再寫出0360內(nèi)符合條件的角的范圍,最后都加上k360,得到所求課下能力提升(一)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1終邊相同的角及區(qū)域角的表示1與457角的終邊相同的角的集合是()A|457k360,kZB|97k360,kZC|263k360,kZD|263k360,kZ解析:選C由于4571360972360263,故與457角終邊相同的角的集合是|457k360,kZ|263k360,kZ2若A|k360,kZ,B|k180,kZ,C|k90,kZ,則下列關(guān)系中正確的是()AABC BABCCABC DABC解析:選D90C,90B,90A,選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤;又180C,180B,180A,選項(xiàng)B錯(cuò)誤故選D.3若n360,m360,m,nZ,則,終邊的位置關(guān)系是()A重合 B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱 D關(guān)于y軸對(duì)稱解析:選C由n360,nZ可知與是終邊相同的角,由m360,mZ可知與是終邊相同的角因?yàn)榕c兩角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,所以與兩角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱4.已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),那么_.解析:在0360范圍內(nèi),終邊落在陰影內(nèi)的角滿足30150或210330,所以所有滿足題意的角的集合為|k36030k360150,kZ|k360210k360330,kZ|2k180302k180150,kZ|(2k1)18030(2k1)180150,kZ|n18030n180150,nZ答案:|n18030n180150,nZ5(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式360720的元素寫出來:60;21.(2)試寫出終邊在直線yx上的角的集合S,并把S中適合不等式180180的元素寫出來解:(1)S|60k360,kZ,其中適合不等式360720的元素為:300,60,420;S|21k360,kZ,其中適合不等式360720的元素為:21,339,699.(2)終邊在直線yx上的角的集合S|k360135,kZ|k360315,kZ|k180135,kZ,其中適合不等式180180的元素為:45,135.題組2象限角的判斷61 120角所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:選D由題意,得1 1204360320,而320在第四象限,所以1 120角也在第四象限7下列敘述正確的是()A三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B始邊相同而終邊不同的角一定不相等C第四象限角一定是負(fù)角D鈍角比第三象限角小解析:選B90的角是三角形的內(nèi)角,它不是第一、二象限角,故A錯(cuò);280的角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);100的角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò)8若是第四象限角,則180一定是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析:選B是第四象限角,k36090k360.k36090180k360180.180在第二象限,故選B.題組3n或所在象限的判定9已知角2的終邊在x軸上方,那么是()A第一象限角 B第一或第二象限角C第一或第三象限角 D第一或第四象限角解析:選C由條件知k3602k360180,(kZ),k180k18090(kZ),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),在第一象限,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),在第三象限10.若角是第三象限角,則角的終邊所在的區(qū)域是如圖所示的區(qū)域(不含邊界)()ABCD解析:選A是第三象限角,k360180k360270(kZ),k18090k180135(kZ)當(dāng)k2n(nZ)時(shí),n36090n360135,對(duì)應(yīng)區(qū)域;當(dāng)k2n1(nZ)時(shí),n360270n360315,對(duì)應(yīng)區(qū)域.角的終邊所在的區(qū)域?yàn)?能力提升綜合練1已知集合A|小于90,B|為第一象限角,則AB()A|為銳角 B|小于90C|為第一象限角 D以上都不對(duì)解析:選D小于90的角包括銳角及所有負(fù)角,第一象限角指終邊落在第一象限的角,所以AB是指銳角及第一象限的所有負(fù)角的集合,故選D.2下列敘述正確的是()A第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角B始邊相同而終邊不同的角一定不相等C若是第一象限角,則2是第二象限角D鈍角比第三象限角小解析:選B330角是第一象限角,但不能作為三角形的內(nèi)角,故A錯(cuò);若是第一象限角,則k360k36090(kZ),所以2k3602135,故D錯(cuò)3終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是()A|k360

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