2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第1節(jié)任意角和弧度制（第1課時(shí)）任意角教案.docx

第1課時(shí)任意角核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P2P5的內(nèi)容，回答下列問題(1)閱讀教材P2“思考”的內(nèi)容，你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25個(gè)小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？在你調(diào)整的過程中，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的方向有什么區(qū)別？提示：當(dāng)手表慢了5分鐘時(shí)，通常將分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)進(jìn)行調(diào)整；當(dāng)手表快了1.25小時(shí)時(shí)，通常將分針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)進(jìn)行調(diào)整故在調(diào)整的過程中兩種情形分針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反(2)體操中有“轉(zhuǎn)體720”(即“轉(zhuǎn)體2周”)，“轉(zhuǎn)體1 080”(即“轉(zhuǎn)體3周”)這樣的動(dòng)作名稱，而旋轉(zhuǎn)的方向也有順時(shí)針與逆時(shí)針的不同；又如圖是兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動(dòng)輪隨著主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動(dòng)輪與主動(dòng)輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向這樣，OA繞O旋轉(zhuǎn)所成的角與OB繞O旋轉(zhuǎn)所成的角就會(huì)有不同的方向利用我們以前學(xué)過的0360范圍的角，還能描述以上現(xiàn)象嗎？提示：要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道角形成的結(jié)果，而且要知道角形成的過程，即必須既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向故利用0360范圍的角，無法描述以上現(xiàn)象(3)閱讀教材P3“探究”的內(nèi)容，請(qǐng)思考：對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么這些終邊相同的角有什么關(guān)系？提示：不唯一它們之間相差360的整數(shù)倍，即相差k360(kZ)2歸納總結(jié)，核心必記(1)角的有關(guān)概念有關(guān)概念描述定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形圖示其中O為頂點(diǎn)，OA為始邊，OB為終邊記法角或，或簡記為(2)角的分類按角的終邊位置()角的終邊在第幾象限，則此角稱為第幾象限角；()角的終邊在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和 問題思考(1)你能說出角的三要素嗎？提示：角的三要素是頂點(diǎn)、終邊、始邊(2)如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合，這個(gè)角一定是零角嗎？提示：不一定，零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360，360等(3)一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越大，這樣說對(duì)嗎？提示：不對(duì)，如果一條射線繞端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負(fù)角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越小(4)在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸形成的角為90，這種說法是否正確？提示：不正確，在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸時(shí)，是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，故它形成的角為90.(5)當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？提示：不是的雖然始、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小并沒有確定，所以角也就不能確定(6)初中我們學(xué)過對(duì)頂角相等依據(jù)現(xiàn)在的知識(shí)試判斷一下圖中角，是否相等？提示：不相等角為逆時(shí)針方向形成的角，為正角；角為順時(shí)針方向形成的角，為負(fù)角課前反思(1)角的概念： ；(2)角的分類： ；(3)終邊相同的角： .知識(shí)點(diǎn)1終邊相同的角及區(qū)域角的表示思考1終邊相同的角一定是相等的角嗎？它們之間有什么關(guān)系？如何把這一類角表示出來？名師指津：不一定相等的角的終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等，它們相差360的整數(shù)倍可以用集合|k360，kZ表示思考2區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域的角，區(qū)域角如何表示？名師指津：區(qū)域角可以看作是某一范圍內(nèi)的終邊相同角的集合故可把區(qū)域的起始、終止邊界表示出來，然后組成集合即可講一講1(1)寫出與1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720360的元素寫出來(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合嘗試解答(1)與角1 910終邊相同的角的集合為|1 910k360，kZ720360，7201 910k360360，3k6.故k4,5,6，k4時(shí)，1 9104360470.k5時(shí)，1 9105360110.k6時(shí)，1 9106360250.(2)在0360范圍內(nèi)，終邊在直線y0上的角有兩個(gè)，即0和180，因此，所有與0角終邊相同的角構(gòu)成集合S1|0k360，kZ，而所有與180角終邊相同的角構(gòu)成集合S2|180k360，kZ，于是，終邊在直線y0上的角的集合為SS1S2|k180，kZ由圖形易知，在0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)，即135和315，因此，終邊在直線yx上的角的集合為S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ終邊在直線yx上的角的集合為|45k180，kZ，結(jié)合知所求角的集合為S|45k180，kZ|135k180，kZ|452k90，kZ|45(2k1)90，kZ|45k90，kZ(3)終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360，kZ|135k360，kZ，終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360，kZ故陰影部分角的集合可表示為|30k360135k360，kZ類題通法(1)在0360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法把任意角化為k360(kZ且0360)的形式，關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(的絕對(duì)值較小)，也可用除法要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值(2)區(qū)域角的寫法可分三步按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角，寫出所有與，終邊相同的角；用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合練一練1已知角2 018.(1)把改寫成k360(kZ,0360)的形式；(2)求，使與終邊相同，且360720.解：(1)由2 018除以360，得商為5，余數(shù)為218，取k5，218，5360218.(2)與2 018角終邊相同的角為k3602 018(kZ)令360k3602 018720，kZ，k取6，5，4，將k的值代入k3602 018中，得角的值為142，218，578.知識(shí)點(diǎn)2象限角的判斷思考1若為第一象限角，則的頂點(diǎn)、始邊、終邊各有什么特點(diǎn)？提示：若為第一象限角，則的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、始邊與x軸的正半軸重合，終邊處在第一象限思考2如何判定象限角？提示：(1)根據(jù)圖形判定；(2)根據(jù)終邊相同的角的概念判定講一講2已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角(1)75；(2)855；(3)510.嘗試解答作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示：(1)由圖可知：75是第四象限角(2)由圖可知：855是第二象限角(3)由圖可知：510是第三象限角類題通法給定角所處象限的判定方法法一：第一步，將寫成k360(kZ,0360)的形式第二步，判斷的終邊所在的象限第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定的終邊所在的象限法二：在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象限角練一練2(1)已知下列各角：120；240；180；495.其中是第二象限角的是()ABCD(2)若是第四象限角，則180是第_象限角解析：(1)120角是第三象限角；240角是第二象限角；180角不在任何一個(gè)象限內(nèi)；495360135，所以495角是第二象限角(2)因?yàn)槭堑谒南笙藿牵匀?0，則180200，為第三象限角答案：(1)D(2)三知識(shí)點(diǎn)3n或所在象限的判定講一講3若是第二象限角，則2，分別是第幾象限的角？嘗試解答(1)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，180k7202360k720，2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)法一：當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角法二：45k180表示終邊為一、三象限角平分線的角，90k180(kZ)表示終邊為y軸的角，45k18090k180(kZ)表示如圖中陰影部分圖形即是第一或第三象限角類題通法(1)n所在象限的判斷方法確定n終邊所在的象限，先求出n的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可(2)所在象限的判斷方法已知角所在象限，要確定角所在象限，有兩種方法：用不等式表示出角的范圍，然后對(duì)n的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.從而得出結(jié)論作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.的終邊在第幾象限，則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是的終邊所落在的區(qū)域如此，所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出練一練3若角是第一象限角，則，2，分別是第幾象限角？解：是第一象限角，k360k36090(kZ)(1)k36090k360(kZ)，所在區(qū)域與(90，0)范圍相同，故是第四象限角(2)2k36022k360180(kZ)，2所在區(qū)域與(0，180)范圍相同，故2是第一、二象限角或終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角(3)法一(分類討論)：k120k12030(kZ)當(dāng)k3n(nZ)時(shí)，n360n36030，是第一象限角；當(dāng)k3n1(nZ)時(shí)，n360120n360150，是第二象限角；當(dāng)k3n2(nZ)時(shí)，n360240n360270，是第三象限角綜上可知，是第一、第二或第三象限角法二(幾何法)：如圖，先將各象限分成3等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4，則標(biāo)有1的區(qū)域即為角的終邊落在的區(qū)域，故為第一、第二或第三象限角課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是象限角的判斷、終邊相同角及區(qū)域角的表示，難點(diǎn)是n及所在象限的判定2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握以下規(guī)律方法(1)求終邊相同的角及區(qū)域角的表示，見講1；(2)象限角及n、所處象限的判斷，見講2和講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有以下幾點(diǎn)(1)對(duì)于角的理解，要明確該角是按順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角(2)把任意角化為k360(kZ，且0360)的形式，關(guān)鍵是確定k，可以用觀察法(的絕對(duì)值較小)，也可以用除法(3)已知角的終邊范圍，求角的集合時(shí)，先寫出邊界對(duì)應(yīng)的角，再寫出0360內(nèi)符合條件的角的范圍，最后都加上k360，得到所求課下能力提升(一)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1終邊相同的角及區(qū)域角的表示1與457角的終邊相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ解析：選C由于4571360972360263，故與457角終邊相同的角的集合是|457k360，kZ|263k360，kZ2若A|k360，kZ，B|k180，kZ，C|k90，kZ，則下列關(guān)系中正確的是()AABC BABCCABC DABC解析：選D90C,90B,90A，選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；又180C,180B,180A，選項(xiàng)B錯(cuò)誤故選D.3若n360，m360，m，nZ，則，終邊的位置關(guān)系是()A重合 B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱 D關(guān)于y軸對(duì)稱解析：選C由n360，nZ可知與是終邊相同的角，由m360，mZ可知與是終邊相同的角因?yàn)榕c兩角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以與兩角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱4.已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么_.解析：在0360范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角滿足30150或210330，所以所有滿足題意的角的集合為|k36030k360150，kZ|k360210k360330，kZ|2k180302k180150，kZ|(2k1)18030(2k1)180150，kZ|n18030n180150，nZ答案：|n18030n180150，nZ5(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素寫出來：60；21.(2)試寫出終邊在直線yx上的角的集合S，并把S中適合不等式180180的元素寫出來解：(1)S|60k360，kZ，其中適合不等式360720的元素為：300，60，420；S|21k360，kZ，其中適合不等式360720的元素為：21，339，699.(2)終邊在直線yx上的角的集合S|k360135，kZ|k360315，kZ|k180135，kZ，其中適合不等式180180的元素為：45，135.題組2象限角的判斷61 120角所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選D由題意，得1 1204360320，而320在第四象限，所以1 120角也在第四象限7下列敘述正確的是()A三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B始邊相同而終邊不同的角一定不相等C第四象限角一定是負(fù)角D鈍角比第三象限角小解析：選B90的角是三角形的內(nèi)角，它不是第一、二象限角，故A錯(cuò)；280的角是第四象限角，它是正角，故C錯(cuò)；100的角是第三象限角，它比鈍角小，故D錯(cuò)8若是第四象限角，則180一定是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：選B是第四象限角，k36090k360.k36090180k360180.180在第二象限，故選B.題組3n或所在象限的判定9已知角2的終邊在x軸上方，那么是()A第一象限角 B第一或第二象限角C第一或第三象限角 D第一或第四象限角解析：選C由條件知k3602k360180，(kZ)，k180k18090(kZ)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在第一象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，在第三象限10.若角是第三象限角，則角的終邊所在的區(qū)域是如圖所示的區(qū)域(不含邊界)()ABCD解析：選A是第三象限角，k360180k360270(kZ)，k18090k180135(kZ)當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，n36090n360135，對(duì)應(yīng)區(qū)域；當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，n360270n360315，對(duì)應(yīng)區(qū)域.角的終邊所在的區(qū)域?yàn)?能力提升綜合練1已知集合A|小于90，B|為第一象限角，則AB()A|為銳角 B|小于90C|為第一象限角 D以上都不對(duì)解析：選D小于90的角包括銳角及所有負(fù)角，第一象限角指終邊落在第一象限的角，所以AB是指銳角及第一象限的所有負(fù)角的集合，故選D.2下列敘述正確的是()A第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角B始邊相同而終邊不同的角一定不相等C若是第一象限角，則2是第二象限角D鈍角比第三象限角小解析：選B330角是第一象限角，但不能作為三角形的內(nèi)角，故A錯(cuò)；若是第一象限角，則k360k36090(kZ)，所以2k3602135，故D錯(cuò)3終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是()A|k360