《邏輯代數基礎》PPT課件.pptVIP

第二章 邏輯代數基礎,主講教師：欒慶磊,本章學習內容,第2章,1. 邏輯代數的公式和定理,2. 邏輯函數的表示方法,3. 邏輯函數的化簡方法（重點）,第2章 邏輯代數基礎,2-2 邏輯代數中的三種基本運算,2-3 邏輯代數中的基本公式和定理,2-4 邏輯函數及其表示方法,返回,第2章,2-5、邏輯函數的化簡方法,2-6、具有無關項的邏輯函數及其化簡,2-1 概述,前面已討論，利用二值數字邏輯中的1（邏輯1）和0（邏輯0）不僅可以表示二進制數，還可以表示事物的兩種對立的邏輯狀態(tài)。在邏輯代數中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。,11 概述,邏輯代數（又稱布爾代數【Boolean Algebra】）,第2章,是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是分析和設計數字電路的數學工具。,回顧“二值數字邏輯”,參與邏輯運算的變量稱為邏輯變量，用字母A，B表示。每個變量的取值非0 即1。 0、1不表示數的大小，而是代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。,邏輯變量【Boolean Variable Or Logic Variable】,返回,基本邏輯運算包括：,三種基本邏輯運算：與【AND】、或【OR】、非【NOT】,幾種導出邏輯運算：與 或【AND-OR】 與 非【NAND】 與或非【AND-OR-Invert(AND-OR-I)】 異 或【Exclusive-OR(XOR)】 同 或【 Exclusive-NOR(XNOR) 】,第2章,描述這些運算常見的方法有4種：, 用語句【Statement】描述； 用邏輯表達式【Logical Expression】描述 用真值表【Truth Table】描述 用邏輯符號【Logical Symbol】描述,2-2 邏輯代數中的三種基本運算,燈滅,B斷開,A斷開,與運算【AND Operation】,功能表,邏輯表達式：L=A B=AB,真值表,約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。,邏輯符號,舊法：用 或表示與運算,實現與邏輯的電路稱為與門,A,B,L=AB,舊符號,返回,描述：只有條件都具備，結果才發(fā)生。（邏輯乘）,B閉合,與運算【AND Operation】,功能表,邏輯表達式：L=A B=AB,真值表,約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。,邏輯符號,舊法：用 或表示與運算,實現與邏輯的電路稱為與門,A,B,L=AB,舊符號,A仍斷,返回,描述：只有條件都具備，結果才發(fā)生。（邏輯乘）,燈滅,B斷開,與運算【AND Operation】,功能表,邏輯表達式：L=A B=AB,真值表,約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。,邏輯符號,舊法：用 或表示與運算,實現與邏輯的電路稱為與門,A,B,L=AB,舊符號,A閉合,返回,描述：只有條件都具備，結果才發(fā)生。（邏輯乘）,燈滅,A閉合,與運算【AND Operation】,功能表,邏輯表達式：L=A B=AB,真值表,約定：開關A、B斷開時為邏輯0，合上時為邏輯1；燈滅時為邏輯0，燈亮時為邏輯1。,邏輯符號,舊法：用 或表示與運算,實現與邏輯的電路稱為與門,A,B,L=AB,舊符號,返回,描述：只有條件都具備，結果才發(fā)生。（邏輯乘）,燈亮,B閉合,或運算【OR Operation】,第2章,功能表,邏輯表達式：L=A+B,真值表,邏輯符號,實現或邏輯的電路稱為或門,1,A,B,L=AB,舊符號,斷開A,返回,描述：只要任一條件具備，結果就會發(fā)生。（邏輯加）,斷開B,或運算【OR Operation】,第2章,功能表,邏輯表達式：L=A+B,真值表,邏輯符號,實現或邏輯的電路稱為或門,1,A,B,L=AB,舊符號,斷開A,返回,描述：只要任一條件具備，結果就會發(fā)生。（邏輯加）,合上B,或運算【OR Operation】,第2章,功能表,邏輯表達式：L=A+B,真值表,邏輯符號,實現或邏輯的電路稱為或門,1,A,B,L=AB,舊符號,合上A,返回,描述：只要任一條件具備，結果就會發(fā)生。（邏輯加）,斷開B,或運算【OR Operation】,第2章,功能表,邏輯表達式：L=A+B,真值表,邏輯符號,實現或邏輯的電路稱為或門,1,A,B,L=AB,舊符號,合上A,返回,描述：只要任一條件具備，結果就會發(fā)生。（邏輯加）,合上B,Y,第2章,非運算【NOT Operation】,功能表,真值表,邏輯符號,實現非邏輯的電路稱為非門,舊符號,描述：條件具備，結果不發(fā)生； 條件不具備，結果必發(fā)生。 （邏輯求反）,與非運算,邏輯表達式：,第2章,真值表：,符號：,4、其他一些常用的邏輯運算都可以由與、或、非組合而成。常用的如下：,舊符號：,或非運算,第2章,邏輯表達式：,真值表：,符號：,與或非運算,邏輯表達式：,第2章,符號：,異或運算,邏輯表達式：,真值表：,第2章,符號：,同或運算,邏輯表達式：,真值表：,符號：,第2章,各種邏輯運算匯總表,返回,23 邏輯代數的基本公式和定理,10,1,0A=0,11,1+A=1,2,1A=A,12,0+A=A,3,AA=A,13,A+A=A,4,14,5,AB=BA,15,A+B=B+A,6,A(BC)=(AB)C,16,A+(B+C)=(A+B)+C,7,A(B+C)=AB+AC,17,A+BC=(A+B)(A+C),8,18,9,19,試證明： A+AB=A,1) 列真值表證明,2) 利用基本公式證明,A+BC,AB+C,二、推廣舉例,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,A+AB,0+00=0,0+01=0,1+10=1,1+11=1,A,0,0,1,1,A+AB=A(1+B)=A1=A,常用公式的證明與推廣,一、證明舉例,返回,2-4 邏輯函數及其表示方法,例：某一邏輯電路，對輸入兩路信號A、B進行比較，,一、真值表表示法,A,B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,1,0,真值表表示法、,邏輯函數式表示法、,邏輯圖表示法、,波形圖表示法、,卡諾圖表示法等。,試表示其邏輯關系。,A、B相異時，輸出為1；相同 時，輸出0。,輸 入,輸出,（狀態(tài)表表示法）,2-4-1,二、邏輯函數式表示法,(一） 最小項,1、二變量的全部最小項,A B,最小項,編號,0 0,0 1,1 0,1 1,A B,m0,m1,m2,m3,2、三變量的全部最小項,A B C,最小項,編號,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m0,A B C,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,3、四變量的全部最小項,編號為 m0 m15,在 n 變量邏輯函數中，若 m 是包含 n 個因子的乘項積，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在 m 中出現一次，則稱m 為該組變量的最小項。,（略）,在真值表中，將為“1”的輸出邏輯值所對應的輸入變量的最小項相加，即得對應的函數式。,（二） 邏輯函數式表示法,Y=,+,已知：,所以：,三、 邏輯圖表示法,A,B,Y,=,m1,+,m2,=, （ m1 ， m2 ）,四、 波形圖表示法,A,B,Y,五、卡諾圖表示法,（在本章第五節(jié)中講）,2-4-2 邏輯函數的兩種標準形式,最小項之和形式 、 最大項之積形式。這里，重點介紹最小項之和形式。,一、最小項,標準形式：,（已講過）,最小項的性質：,2）全體最小項之和為1；,3）任意兩個最小項的乘積為0；,1）在輸入變量的任何取值下必有一個且僅有一個最小項的值為1；,4）具有相鄰性的兩個最小項可以合并，并消去一對因子。,例如:,將它們合并，可消去因子:,二變量全部最小項有m0m3共4個；,三變量全部最小項有m0m7共8個；,四變量全部最小項有m0m15共16個；,只有一個因子不同的兩個最小項是具有相鄰性的最小項。,= BC,二、邏輯函數的最小項之和形式,= AB,=（m0，m2，m3）,例2：Y=AB+C 可化為,= （m 1，m 3，m 5，m 6，m 7）,= m 3,+ m 2,+ m 0,+,Y= AB,+ m 6,+ m 7,+ m 3,+ m 5,+ m 1,= m 7,*三.最大項Mi（i取02n-1） 定義：在n變量邏輯函數中，若為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在中必須且只能出現一次,則稱為該組變量的最大項。 輸入變量的每一組取值都使一個對應的最大項的值為 Mi的重要特性： 在輸入變量的任何取值下必須有一個最大項且僅有一個最大項的值為0； 全體Mi之積為0； 任意兩個Mi之和為1； 只有一個變量不同的兩個Mi的乘積等于各相同變量之和。,【例】 寫出函數 的最大項之積的標準形式。 解:,利用公式A+BC=(A+B)(A+C),利用公式：,利用基本公式 可以把任何邏輯函數化為最大項之積 的標準形式。,也可以寫成,或 或,返回,2-5 邏輯函數的化簡方法,2-5-1、最簡標準,一般來說，同一個邏輯函數可以寫成不同的表達式。用基本邏輯門電路去實現某函數時，表達式越簡單，需用門電路的個數就越少，因而也就越經濟可靠。因此，實現邏輯函數之前，往往要對它進行化簡，先求出其最簡表達式，再根據最簡表達式去實現邏輯函數。最簡表達式有很多種，最常用的有最簡與或表達式和最簡或與表達式。不同類型的邏輯函數表達式，最簡的定義也不同。 函數的最簡與或表達式必須滿足的條件有: (1)與項個數最少。 (2)與項中變量的個數最少。 函數的最簡或與表達式必須滿足的條件有: (1)或項個數最少。 (2)或項中變量的個數最少。,常見的化簡方法有公式法和卡諾圖法兩種。,2-5-2、常用的最簡形式,邏輯函數式中，包含的或運算的項最少；每一項中包含與運算的因子最少，則此函數式為最簡函數式,有與-或式和與非-與非式。,= AB+C,= AB+C,=,（最簡與非-與非式）,將與-或式取兩次非可得與非-與非式。,（最簡與或式）,二輸入四或門74LS32一片（四2輸入或門）,只需要：二輸入四與非門74LS00一片(四2輸入與非門),按與-或式AB+C設計此邏輯電路，,需兩塊芯片,二輸入四與門74LS10一片（四2輸入與門）,2-5-3、邏輯函數的公式化簡法,常用的公式化簡方法：,利用基本公式和常用公式，再配合并項法、吸收法、配項法。,公式化簡法（代數法） 公式法化簡邏輯函數，就是通過利用邏輯函數的基本公式，對函數進行消項、消因子等，以求得函數的最簡表達式。常用方法有以下四種。 1. 并項法 利用公式 ，將兩個與項合并為一個，消去其中的一個變量。,【例】 求函數 的最簡與或表達式。 解:,2、 吸收法 利用公式 ，吸收多余的與項。 【例】 求函數 的最簡與或表達式。 解: F=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =A,3. 消去法 利用公式 ，消去與項多余的因子。 【例】 求函數 的最簡與 或表達式。 解:,4、 配項、消項法 利用公式 ，進行配項，以消去更多的與項。 【例】 求函數 的最簡與或表達式。 解:,【例】 求函數 的最簡與或表達式。 解:,圖解化簡法（卡諾圖化簡法） 1.用卡諾圖化簡法求函數的最簡與或表達式 卡諾圖：將n變量的全部最小項各用一個方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的叫做n變量最小項的卡諾圖。（由美國工程師卡諾提出） 循環(huán)碼：相鄰兩組之間只有一個變量值不同的編碼，如00011110。 1)卡諾圖的相鄰性 最小項的相鄰性定義: 兩個最小項，如果只有一個變量的形式不同（在一個最小項中以原變量出現，在另一個最小項中以反變量出現），其余變量的形式都不變，則稱這兩個最小項是邏輯相鄰的?？ㄖZ圖的相鄰性判別:,2-5-4 邏輯函數的卡諾圖化簡法,一、卡諾圖（n 變量全部最小項的卡諾圖）,在卡諾圖的兩個方格中，如果只有一個變量的取值不同（在一個方格中取1，在另一個方格中取0），其余變量的取值都不變，則這兩個方格對應的最小項是邏輯相鄰的。在卡諾圖中，由于變量取值按循環(huán)碼排列，使得幾何相鄰的方格對應的最小項是邏輯相鄰的。具體而言，每一方格和上下左右四邊緊靠它的方格相鄰；最上一行和最下一行對應的方格相鄰；最左一列和最右一列對應的方格相鄰；對折相重的方格相鄰。下圖畫出了卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況。,卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況,2) 卡諾圖化簡法的一般規(guī)律 （1）兩個相鄰的1方格圈在一起，消去一個變量，如圖所示。 兩個相鄰的1方格對應的兩個最小項中只有一個變量的形式不同，將它們相或時可以消去該變量，只剩下不變的因子。例如，在圖（a）中，兩個相鄰的1方格對應的兩個最小項為班 和 ，在這兩個最小項中只有變量C的形式不同。因為 ，結果將變量C消去了，剩下兩個不變的因子 和 。將這兩個方格圈在一起得到一個簡化的與項 。,2) 卡諾圖化簡法的一般規(guī)律 （1）兩個相鄰的1方格圈在一起，消去一個變量，如圖所示。 兩個相鄰的1方格對應的兩個最小項中只有一個變量的形式不同，將它們相或時可以消去該變量，只剩下不變的因子。例如，在圖（a）中，兩個相鄰的1方格對應的兩個最小項為班 和 ，在這兩個最小項中只有變量C的形式不同。 因為 ，結果將變量C消去了，剩下兩個不變的因子 和 。將這兩個方格圈在一起得到一個簡化的與項 。,兩個相鄰最小項的合并,（2）四個相鄰的1方格圈在一起，消去兩個變量，如圖所示。 四個相鄰的1方格對應的四個最小項中有兩個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這兩個變量，只剩下不變的因子。 例如，在圖（e）中，四個相鄰的1方格對應的四個最小項分別為 ，在這四個最小項中，A和C兩個變量的形式變化過。,四個相鄰最小項的合并,（3）八個相鄰的1方格圈在一起，消去 三個變量，如圖所示。 八個相鄰的1方格對應的八個最小項中，有三個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這三個變量，只剩下不變的因子。,八個相鄰最小項的合并,（4）2n個相鄰的1方格圈在一起，消去n個變量。2n個相鄰的1方格對應的2n個最小項中，有n個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這n個變量，只剩下不變的因子。 （5）如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們圈在一起，結果為1。如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們圈在一起，等于將變量的所有不同最小項相或，因此結果為1。這種情形表示在變量的任何取值下，函數值恒為1。,3) 卡諾圖化簡法的步驟和原則 用卡諾圖化簡邏輯函數時，一般先畫出函數的卡諾圖，然后將卡諾圖中的1方格按邏輯相鄰特性進行分組劃圈。每個圈得到一個簡化的與項，與項中只包含在圈中取值沒有變化過的變量，值為1的以原變量出現，值為0的以反變量出現。再將所得各個與項相或，即得到該函數的最簡與或表達式。,用卡諾圖化簡法求函數最簡與或表達式的一般步驟如下: （1）畫出函數的卡諾圖。 （2）對相鄰最小項進行分組合并。 （3）寫出最簡與或表達式。 用卡諾圖化簡法求函數最簡與或表達式的原則如下: （1）每個值為1的方格至少被圈一次。當某個方格被圈多于一次時，相當于對這個最小項使用同一律A+A=A，并不改變函數的值。,（2）每個圈中至少有一個1方格是其余所有圈中不包含的。如果一個圈中的任何一個1方格都出現在別的圈中，則這個圈就是多余的。 （3）任一圈中都不能包含取值為0的方格。 （4）圈的個數越少越好。圈的個數越少，得到的與項就越少。 （5）圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項包含的因子就越少。每個圈中包含的1方格的個數必須是2的整數次方。,1、一變量全部最小項的卡諾圖,一變量Y=F（A），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小項：,A，,卡諾圖：,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,00,01,11,10,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,2、二變量全部最小項的卡諾圖,Y= F（A、B）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,1,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,3、三變量全部最小項的卡諾圖,Y=F（A、B、C）,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,m12,m13,m8,m9,m15,m14,m11,m10,Y,ABC,D,000,001,011,010,100,101,111,110,0,1,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m8,m9,m11,m10,m12,m13,m15,m14,4、四變量全部最小項的卡諾圖,Y= F（A、B、C、D）,注意：,左右、上下；,在卡諾圖中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小項都是邏輯相鄰的。,卡諾圖：,1,1,1,1,1,1,0,0,二、用卡諾圖表示邏輯函數,1、把已知邏輯函數式化為最小項之和形式。,2、將函數式中包含的最小項在卡諾圖對應 的方格中填 1，其余方格中填 0。,方法一：,解：,根據函數式直接填卡諾圖,方法二：,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡諾圖表示之。,1,1-7-2 邏輯函數的卡諾圖化簡法,化簡依據：邏輯相鄰性的最小項可以合并，并消去因子。,化簡規(guī)則：能夠合并在一起的最小項是2 n 個,如何最簡： 圈的數目越少越簡；圈內的最小項越多越簡。,特別注意：卡諾圖中所有的 1 都必須圈到， 不能合并的 1 必須單獨畫 圈。,Y1 =,+,+,A,C,Y1 =,+,A,+,B,例1：,（畫矩形圈）。,上兩式的內容不相同，但函數值一定相同。此例說明，一邏輯函數的化簡結果可能不唯一,Y2 =,例2：將Y2= (m0 m2 m4 m6 m8 m15 )化簡為最簡與或式。,Y2,Y2,此例說明，為了使化簡結果最簡，可以重復利用最小項。,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,例3：用圈 0 法化簡Y2。,解：若卡諾圖中1的數目遠遠大于0的數目，可用圈 0 的方法。,A,+,1-8 具有無關項的邏輯函數的化簡,1-8-1 無關項,在實際的數字系統(tǒng)中，會出現這樣一種情況：函數式中沒有包含的某些最小項，寫入或不寫入函數式,都不影響原函數的值,不影響原函數表示的邏輯功能，這樣的最小項叫“無關項”。,無關項由“約束項”和“任意項”形成，這里只介紹由約束項形成的無關項.,例:,一個計算機操作碼形成電路，,當ABC=000 時，輸出停機碼00；,當只有A=1時，輸出加法操作碼01；,當只有B=1時，輸出減法操作碼10；,當只有C=1時，輸出乘法操作碼11；,其它輸入狀態(tài)不允許出現，試畫電路的邏輯圖。,有三個輸入端A B C ，有兩個輸出端Y1、Y0；,1 、 列真值表,1 1,1 0,0 1,X X,X X,X X,X X,0 0,（m 3 ，m 5 ，m 6 ，m 7