《相平面分析》PPT課件.pptVIP

非線性系統(tǒng)分析 Nonlinear Systems Analysis 北京理工大學自動化學院,2.1 相平面的基本概念 2.2 相軌跡的繪制方法 2.3 奇點與極限環(huán) 2.4 線性系統(tǒng)的相軌跡 2.5 非線性系統(tǒng)的相平面分析,第二章 相平面分析,方法背景及應用,相平面法由龐加萊1885年首先提出。該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件及參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。相軌跡的繪制方法步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng),相平面法概述,相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法,即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動, 通過研究這個點移動的軌跡, 就能獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息.,相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響.,式中, 是 的線性或非線性函數(shù).,設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程如下：,2.1 相平面法的基本概念,由微分方程的理論可知，只要 是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的解是唯一的。這個唯一的解可以寫成時間解的形式x(t), 也可以寫成以t為參變量的形式，用 來表示。,方程的解,3.相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統(tǒng) 的相平面圖。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的 運動過程。,2.相平面: 平面稱為相平面。對于一個系統(tǒng)，初始條件 不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。,1.相軌跡：如果我們?nèi)?x 和 作為平面的直角坐標，則 系統(tǒng)在每一時刻的 均相應于平面上的一點。當 t 變化時，這一點在 平面上將繪出一條相應的軌跡-相軌跡。它描述系統(tǒng)的運動過程。,二階系統(tǒng)微分方程： 兩個獨立變量： 位置量 速度量 構(gòu)成相平面 為相變量。給定初始條件 相變量 在相平面上的 運動坐標軌跡稱為相軌跡。,相平面分析方法:,由于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程，因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來分析：,3）穩(wěn)態(tài)誤差。,下面舉二個例子進行說明：,1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；,2）瞬態(tài)響應性能；,例2-1.設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：,圖中的箭頭表示系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡的移動方向。,其相平面圖如右圖所示（繪制方法在下節(jié)介紹）,相平面圖,（1）在各種初始條件下（任意一條相軌跡），系統(tǒng)都趨向原點（0,0）,說明原點是系統(tǒng)的平衡點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,由圖可知：,可將其狀態(tài)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化 為時間響應曲線x(t)來驗證如圖所示,（2）如果初始條件為：x(0)=1， 。則相應的相軌跡為ABCDE0。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應為阻尼振蕩形式，最大超調(diào)量為p，穩(wěn)態(tài)誤差為零。,一、相軌跡的共同特性,1.相軌跡的對稱性,相軌跡的對稱性可以從對稱點上相軌跡的斜率來判斷。,2.2 相軌跡的繪制方法,即 是 的偶函數(shù) -相軌跡對稱于 x 軸的條件。,1）若相軌跡對稱于x軸。則在所有的對稱點 和 上，相軌跡的斜率應大小相等，符號相反。即：,相軌跡對稱于x軸,2) 若相軌跡對稱于 軸，則：,相軌跡對稱于 軸,即 是 的奇函數(shù) -相軌跡對稱于 軸的條件。,相軌跡對稱于原點,2.相平面上的奇點,這樣的點稱為普通點。通過普通點的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點相交）,若相平面中的某點，同時滿足 ,則該點相軌跡的斜率 ,為不定值，這類特殊點稱為奇點。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點。,由相軌跡的斜率方程 可知,相平面上的點 只要不同時滿足 ,則該點相軌跡的斜率是唯一確定的。,二階線性系統(tǒng)：奇點是唯一的，位于原點。 二階非線性系統(tǒng)：奇點可能不止一個。,例： 二階系統(tǒng) 作出該系統(tǒng)的相平面圖。 解： 因為 斜率方程 初值（0, 10）和（0, -10）。,二、解析法作圖 方程不顯含 時，采用一次積分法得相軌跡方程作圖 方程為 因為 代入方程 兩邊一次積分，得相軌跡方程,例： 二階系統(tǒng)為 作相平面圖。 解 方程不顯含 ，由解析法有 一次積分 相軌跡方程為橢圓方程,三、繪制相平面圖的圖解法,當用解析法求解微分方程比較困難，甚至不可能時，可采用圖解法繪制相平面圖。它有：,下面介紹等傾線法:,原理：任一曲線都可以用一系列足夠短的折線來近似，如果我們能用簡便的方法求得相平面中任意一點相軌跡的斜率，就能畫出通過該點相軌跡的切線，并用它來近似該點及其附近的相軌跡曲線。如果點取得足夠密，就能用一系列的切線來近似相軌跡曲線了。,（2）園弧近似法(略),（1）等傾線法,等傾線法作圖步驟：,1）首先畫出等傾線-確立相平面中相軌跡斜率的分布；,等傾線：在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線,即 等傾線應滿足方程：,由前述可知，相軌跡的斜率方程為：,2）從初始條件開始，用連續(xù)的切線段來近似畫出相軌跡曲線。,注意：兩等傾線之間用其平 均值來表示相軌跡。,若給定系統(tǒng)參數(shù)： =0.5, =1.,取不同的 值，求得等傾線如右圖所示：,若給定初始條件為A,則可作出相軌跡為ABCDE .,等傾線和相軌跡,可見，等傾線為過原點、斜率為 的直線。,所有通過等傾線的相軌跡都有相同的斜率,用等傾線繪制相軌跡時，必須注意以下幾點： 1、為使導數(shù) 等于軌跡的幾何斜率，必須對相平面上的 軸和 軸采用相同的坐標比例。 2、相平面上，當 時，相軌跡的走向應沿著 增加的方向由左向右；當 時，相軌跡的走向應沿著 減少的方向自右向左。 3、繪圖時可利用相軌跡的對稱性減少作圖的工作量。 4、在斜率變化很快的區(qū)域，必須畫出更多的等傾線，以期改善作圖的精確程度。,注意：,1）等傾線法在作圖過程中會產(chǎn)生積累誤差。一般來說,等傾線越密，則近似程度越好。但等傾線過密，繪圖條數(shù)增多，致使積累誤差加大。所以，一般間隔510畫一條等傾線較合適。,2）為減少作圖誤差，可事先在等傾線上畫好表示切線 方向的平行短線，然后從初始狀態(tài)開始逐步仔細地將它們聯(lián)成光滑的相軌跡曲線。,3）一般，線性系統(tǒng)的等傾線是直線。因此用等傾線法 比較方便。非線性系統(tǒng)的等傾線則有可能是曲線,甚至是比較復雜的圖形-不適用于等傾線法。,由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有多條相軌跡以不同的斜率通過或逼近該點。,所以奇點是平衡點。奇點及臨近的相軌跡反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。,一、奇點,2.3 奇點與極限環(huán),二、線性系統(tǒng)的奇點與相軌跡,由線性理論可知，系統(tǒng)的特征根不同，則其穩(wěn)定性及瞬態(tài)響應性能不同。在相平面中則表現(xiàn)為相軌跡的形狀和奇點性質(zhì)不同。,可見，原點為奇點或穩(wěn)定點。,奇點鄰域的運動性質(zhì) 由于在奇點上，相軌跡的斜率不定， 所以可以引出無窮條相軌跡。 相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為 1.趨向于奇點 2.遠離奇點 3.包圍奇點,二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程：,當b0，可表為,特征根,相軌跡微分方程,則等傾線方程為,(k為等傾線的斜率),當,可得滿足k=的兩條特殊等傾線，其斜率為,令,具有兩個互異負實根，相軌跡趨于原點，該奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。,具有兩個正實根，相軌跡遠離原點，該奇點為不穩(wěn)定節(jié)點。,具有一對負實部的共軛復根， 相軌跡振蕩趨于原點， 該奇點為穩(wěn)定焦點。,具有一對正實部的共軛復根，相軌跡振蕩遠離原點，為不穩(wěn)定焦點。,具有一對純虛根，相軌跡為同心圓，該奇點為中心點。,b0,系統(tǒng)特征根一正一負，相軌跡先趨向于然后遠離原點，稱為鞍點。,節(jié)點,穩(wěn)定焦點,中心,不穩(wěn)定節(jié)點,不穩(wěn)定焦點,鞍點,根與相軌跡,極點分布,奇點,相跡圖,中心點,穩(wěn)定的 焦點,穩(wěn)定的 節(jié)點,鞍 點,不穩(wěn)定 的焦點,不穩(wěn)定 的節(jié)點,三、非線性系統(tǒng)的奇點,再用線性方程來討論相軌跡的形狀和奇點的性質(zhì)。,設(shè)：奇點為 ， 線性化為 即：,只要 是解析的，總可以將方程在奇點附近線性化。,非線性系統(tǒng)的方程如下： 試畫出系統(tǒng)的相平面圖。,解：式中,由 求得系統(tǒng)的奇點為：,在奇點（0,0）附近，線性化方程為：,即：,式中阻尼比： ，則奇點(0,0)為穩(wěn)定焦點。,在奇點（-2,0）附近，令y=x+2，則方程變?yōu)椋?在 這一點附近，方程線性化為：,可知，奇點（-2,0）為鞍點。,由以上兩種奇點類型的相平面圖結(jié)合起來，可以畫出系統(tǒng)相平面圖的大致形狀,如下圖所示。,四、極限環(huán),極限環(huán)對應于非線性系統(tǒng)特有的自振蕩現(xiàn)象,它 描述了自振蕩的振幅和頻率.,所謂孤立的封閉軌跡,是指它臨近的相軌跡都不 是封閉的.它們或是趨向于極限環(huán),或是遠離極限環(huán).,在相平面圖中,極限環(huán)是孤立的封閉軌跡.,將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域的特殊相軌跡，稱為奇線。,非線性系統(tǒng)的極限環(huán)情況比較復雜，不同的系統(tǒng)會有不同形式的極限環(huán)。,1.穩(wěn)定極限環(huán),特點:極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán),自振蕩 是穩(wěn)定的. 環(huán)內(nèi):不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散 環(huán)外:穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂,穩(wěn)定極限環(huán),如果系統(tǒng)具有這種極限環(huán)，且極限環(huán)不超過允許 的范圍，則可以認為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)計時應盡量減 少極限環(huán)的大小,以滿足準確度的要求。,2.不穩(wěn)定極限環(huán),特點:極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán),環(huán)內(nèi):穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂 環(huán)外:不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散 這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定,大范圍不穩(wěn)定.設(shè)計時 應盡量增大穩(wěn)定區(qū)域(即增大極限環(huán)).,不穩(wěn)定極限環(huán),3.半穩(wěn)定的極限環(huán),環(huán)內(nèi),環(huán)外都不穩(wěn)定.,具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會產(chǎn)生自振蕩的,系 統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。,a),半穩(wěn)定的極限環(huán),環(huán)內(nèi),環(huán)外都是穩(wěn)定的. 具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會產(chǎn)生自振蕩的,系 統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點。.,b),半穩(wěn)定的極限環(huán),注意：,在非線性系統(tǒng)中，可能沒有極限環(huán)，也可能 具有一個或幾個極限環(huán)。在進行一般系統(tǒng)設(shè)計時， 應盡量避免產(chǎn)生極限環(huán)。如不可能避免時，應盡 量縮小穩(wěn)定的極限環(huán)，或加大不穩(wěn)定的極限環(huán)。,振蕩器是具有穩(wěn)定極限環(huán)的非線性系統(tǒng)的典型例子。,相平面圖分析 1、作出系統(tǒng)的相平面圖。對于具有間斷特性的非線性系統(tǒng)，一般表示為數(shù)學上的分區(qū)作用，因此，在相平面上的相軌跡也是分區(qū)作出的。 2、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由分區(qū)穿越的各段構(gòu)成的相軌跡，最終是收斂還是發(fā)散。 3、分析系統(tǒng)是否具有極限環(huán)。 4、可以參考線性系統(tǒng)的性能指標來考慮該非線性系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量等。,系統(tǒng)如圖 其中T,K為正實數(shù).,由圖寫出系統(tǒng)的微分方程：,（在相平面分析法中，一般皆分析誤差函數(shù)）,以c=r-e代入，即可寫出以誤差e為變量的二階微分方程：,初始狀態(tài)為靜止,即:,線性系統(tǒng),2.4 線性系統(tǒng)的相平面分析,1. 階躍響應性能分析,（1）一對負實部的共軛復根,奇點為穩(wěn)定焦點，相軌跡及時間解如下：,欠阻尼時的相軌跡及時間解,(2)兩個不等的負實根,響應性能：(a),(b)與前同; (c)響應是單調(diào)衰減的。,過阻尼時的相軌跡及時間解,2. 斜坡響應性能分析,分析后可知，相軌跡與階躍輸入時相同，只是向右移動了 一段距離。,與階躍響應的差異：（1）奇點位置，初始狀態(tài)不同; （2）穩(wěn)態(tài)誤差為 .,斜坡輸入時的相軌跡,3. 脈沖響應性能分析,下面求初始條件：,相軌跡如下：,結(jié)論：,脈沖輸入時的相軌跡,a).欠阻尼,b).過阻尼,對于分段線性的非線性系統(tǒng)來說，相平面分析法的 步驟為：,（1）用n條分界線（開關(guān)線，轉(zhuǎn)換線）將相平面分成n個線性區(qū)域；,（2）分別寫出各個線性區(qū)域的微分方程；,（3）求出各線性區(qū)的奇點位置并畫出相平面圖；,（4）將各相鄰區(qū)的相軌跡聯(lián)成連續(xù)曲線-非線性系統(tǒng)的相軌跡。,2.5 非線性系統(tǒng)的相平面分析,關(guān)于奇點：,（2）當奇點位于本線性區(qū)域之內(nèi)-實奇點； 當奇點位于本線性區(qū)域之外-虛奇點；該區(qū)域的相軌跡永遠不能到達此點；,下面分析幾種具有典型非線性特性的控制系統(tǒng)：,（3）二階非線性系統(tǒng)只可能有一個實奇點。,（1）每個線性區(qū)有一個奇點；,1.具有非線性增益的系統(tǒng),采用非線性增益的優(yōu)點： 使系統(tǒng)的響應速度較快， 而超調(diào)和振蕩都比較小。,具有非線性增益的系統(tǒng),為了改善系統(tǒng)的性能，一般選用較大的K值和適當?shù)膋值，使得：,當 時，為滿足快速性要求，應使系統(tǒng)為欠阻尼,即:,當 時，為減小超調(diào)，應使系統(tǒng)為臨界阻尼以致過阻尼,即:,(1)階躍響應分析,再將兩個區(qū)的相軌跡聯(lián)成連續(xù)曲線，當輸入信號 幅值 R 較大時，相軌跡曲線為,區(qū)的相軌跡,穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)皆不存在穩(wěn)態(tài)誤差。,由上可知，響應特性與階躍輸入的幅值有關(guān)。,相軌跡及響應曲線如下圖所示：,圖8-42 具有非線性增益的系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡及響應曲線,（2）斜坡響應分析,區(qū)的相軌跡,輸入信號：,注意：奇點 的具體位置與輸入信號幅值 有關(guān)，它 可以用圖解法求得。,區(qū)的相軌跡,作法：在非線性特性圖中， 作水平線： 該直線與m=ke相交點 的e值即為 的e值。 該直線與m=e相交點 的e值即為 的e值。,求奇點 的圖解法,下面分幾種情況來討論：,較小時的奇點位置及相軌跡圖,增大時的奇點位置及相軌跡圖,結(jié)論：非線性系統(tǒng)的響應特性與輸入信號的大小有關(guān)。,圖8-48 較大時的奇點位置及相軌跡圖,2.繼電型控制系統(tǒng),（1）理想繼電特性系統(tǒng)如下圖所示：,繼電型控制系統(tǒng),系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)：,系統(tǒng)的微分方程為：,對于階躍輸入信號：,注意：上兩個方程都不是前述的典型二階系統(tǒng)的方程。因此，我們有必