數學分析課程設計

河南科技大學課 程 設 計 說 明 書課程名稱 數學分析課程設計題 目 一元函數微分學及其應用 學 院 數學與統(tǒng)計學院班 級 數應122班學生姓名 趙明陽指導教師 侯海龍日 期 2015年1月9日課程設計任務書（指導教師填寫）課程設計名稱 學生姓名 專業(yè)班級 設計題目 一、課程設計目的 數學分析課程設計運用所學數學分析知識歸納、推廣、研究若干有關課題。通過本課程設計，使學生更深入地理解所學數學分析的知識，掌握運用所學數學分析知識用于數學理論，設計算法，培養(yǎng)學生數學的思維和分析能力，為今后數學學習和應用打好基礎。二、設計內容、技術條件和要求運用微分學的思想方法解決一定的實際問題。 由此對微分學的思想和方法形成深刻的認識，從而運用運動的、辯證的觀點分析問題，解決問題。 掌握數學分析的基本知識和基本理論，能熟練地進行基本運算，并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。三、時間進度安排 第一天, 集中學習、討論，給出參考資料，進行資料查閱。 第二天, 學生選題，初步擬定實習題目，開始研究、設計。 第三天, 再次討論實習中所涉及的問題。教師指導。 第四天, 檢查各小組的實習情況。教師指導。 第五天, 提交實習成果及文檔。 四、主要參考文獻 1陳紀修數學分析第二版北京：高等教育出版社，2004 2 陳傳璋，歐陽光中數學分析第二版北京：高等教育出版社，2003 3華東師大數學系編.數學分析第三版北京：高等教育出版社，2001 4費定暉.吉米多維奇數學分析習題集題解（16冊）第四版濟南：山東科學技術出版社，2012指導教師簽字： 年 月 日一元函數微分學及其應用摘 要 微積分局部求近似，極限求精確的基本思想貫穿于整個微積分學體系中，而微積分在各個領域中又有廣泛的應用，隨著市場經濟的不斷發(fā)展，微積分的地位也與日俱增，本文著重研究微分在經濟活動中邊際分析、彈性分析、最值分析的應用。關鍵詞：微積分，微分，基本思想，經濟應用 一、微積分的產生、發(fā)展及其作用微積分思想的萌發(fā)出現的比較早，中國戰(zhàn)國時代的莊子天下篇中的“一尺之錘，日取其半，萬事不竭【】”就蘊涵了無窮小的思想。經查閱文獻晏能中.微積分數學發(fā)展的里程牌【】得知：到了十七世紀，歐洲許多數學家也開始運用微積分的思想來解決極大值與極小值，以及曲線的長度等等。帕斯卡在求曲邊形面積時，用到“無窮小矩形”的思想，并把無窮小概念引入數學，為后來萊布尼茲的微積分的產生奠定了基礎。隨著數學科學的發(fā)展，微積分得到了進一步的發(fā)展，其中歐拉對于微積分的貢獻最大，他的無窮小分析引論、微分學、積分學三部著作對微積分的進一步豐富和發(fā)展起了重要的作用。之后，洛必達、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅立葉等數學家也對微積分的發(fā)展作出了較大的貢獻。由于這些人的努力,微分方程、級數論得以產生，微積分也正式成為了數學一個重要分支。微積分的創(chuàng)立改變了整個數學世界。微積分的創(chuàng)立，極大的推動了數學自身的發(fā)展，同時又進一步開創(chuàng)了諸多新的數學分支，例如：微分方程、無窮級數、離散數學等等。此外，數學原有的一些分支，例如：函數與幾何等等，也進一步發(fā)展成為復變函數和解析幾何，這些數學分支的建立無一不是運用了微積分的方法。在微積分創(chuàng)設后這三百年中，數學獲得了前所未有的發(fā)展。二、微積分的基本思想局部求近似、極限求精確微積分是微分學和積分學的總稱，它的基本思想是：局部求近似、極限求精確。本文只具體闡述微分學的思想。1微分學的基本思想微分學的基本思想在于考慮函數在小范圍內是否可能用線性函數或多項式函數來任意近似表示。直觀上看來，對于能夠用線性函數任意近似表示的函數，其圖形上任意微小的一段都近似于一段直線。在這樣的曲線上，任何一點處都存在一條惟一確定的直線該點處的“切線”。它在該點處相當小的范圍內，可以與曲線密合得難以區(qū)分。這種近似，使對復雜函數的研究在局部上得到簡化。下面通過一個例子物理中物體的運動速度【】來形象了解微分學的基本思想：取坐標軸如下圖，設路程函數已知, 求物體的運動速度(即變化率)的方法分為兩步圖 （1）“局部求近似”：盡管物體在時段上作非勻速運動，但在微小時段上可近似看成是勻速運動的。以“勻”代“不勻”，或者說對變化率以“不變”代“變”，使用處理均勻問題的除法得近似值。 （2）“極限求精確”： 越小，近似程度越高，于是令，利用極限法便將此近似值轉化為精確值，即。微分學主要是研究微觀的問題，研究對象往往是“非均勻”變化量，但解決問題的基本思想方法卻大體上是一致的?？蓺w納為兩步：a.微小局部求近似值；b.利用極限求精確。微分學的這一基本思想方法貫穿于整個微積分學體系中，并且將指導我們應用微積分知識去解決各種相關的問題。三、微分學在經濟學中的應用隨著經濟的發(fā)展及數學理論的完善,數學與經濟學的關系越來越密切,應用越來越廣泛.微積分作為數學知識的基礎,介紹微積分與經濟學的書也越來越多,本文主要通過對一些簡單的微分學知識在經濟學中的應用,以使人們意識到理論與實際結合的重要性.、邊際分析在經濟學中，經常會遇到邊際這一概念，如邊際成本、邊際收益、邊際利潤等等，從文獻趙樹源.經濟應用數學基礎（一）微積分【】看，經濟學中的邊際問題，就是相應的經濟函數的變化率問題，即把一個經濟函數的導數稱為該函數的邊際函數，邊際函數在某一點的值稱為邊際值，總成本函數關于產量的導數稱為邊際成本，其經濟含義是：當產量為時，再生產一個單位（即）所增加的總成本；邊際收益是指總收益函數關于銷售量的導數，其經濟含義是：當銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總收益；邊際利潤是指總利潤函數關于銷售量的導數，其經濟含義是：當銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總利潤。 例1 已知某企業(yè)某種產品的收益（元）是銷售量（噸）的函數為：求銷售噸該產品時的邊際收益，并說明其經濟含義。解：依題意得，銷售噸產品的邊際收益函數為：因此，銷售噸該產品的邊際收益為：其經濟含義是：當銷售量為噸時，再增加一噸（即）所增加的總收益是元。例2 某企業(yè)生產某種產品，每月的總成本（千元）是產量（件）的函數，如果每件產品的銷售價格為萬元，求每月生產件、件、件、件時的邊際利潤，并說明其經濟含義。 解：依題意得，每月生產件產品的總收入函數為：因此，生產件產品的總利潤函數為：于是，邊際利潤函數為 則每月生產件、件、件、件時的邊際利潤分別是：其經濟含義是：當月產量為件時，再增產件，利潤將增加元；當月產量為件時，再增產件，利潤將增加元；當月產量為件時，再增產件，利潤則不會增加；當月產量為件時，再增產件，利潤反而會減少元。2、彈性分析由經濟學知識知，某個變量對另一個變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數。在經濟工作中有多種多樣的彈性，這決定于所考察和研究的內容，如果是價格的變化與需求反映之間有關系，那么這個反映就稱為需求彈性。由于具體商品本身屬性的不同以及消費需求的差異，同樣的價格變化給不同商品的需求帶來的影響是不同的。有的商品反應靈敏，彈性大，漲價降價會造成劇烈的銷售變動；有的商品則反應呆滯，彈性小，價格變化對其沒什么影響。（）需求彈性：對于需求函數,根據彈性的定義，需求對價格的彈性系數為由于價格上漲時，商品的需求函數為單調減函數， 與異號，所以特殊定義需求對價格的彈性函數為。 例1 設某商品的需求函數為，求需求彈性函數；的需求彈性。 解： ，說明當時，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度小于價格變動的幅度； ，說明當時，價格上漲，需求也減少，需求變動的幅度與價格變動的幅度是一樣的； ，說明當時，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。3、最值分析 例1國內市場和國外市場的需求函數分別,，某企業(yè)的總成本函數。企業(yè)為取得最大利潤，在國內外市場銷售產品可以實行差別定價或統(tǒng)一定價。求：（1）差別價格；（2）統(tǒng)一價格；（3）比較這兩種定價的不同利潤。 解：利潤函數 （1）, , , （2）求最大利潤而統(tǒng)一定價，即,合并兩個需求函數 總收入為 (3) 差別價格時的利潤為： 統(tǒng)一價格時的利潤為： 綜上所述，說明差別價格時取得的最大利潤比較高。4.總結： 微積分是人類智慧最偉大的成就之一，局部求近似、極限求精確的基本思想是進一步學習高等數學的基礎。隨著市場經濟的不斷發(fā)展，利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，本文主要探討運用微分對經濟活動中的實際問題進行量化分析，從而為企業(yè)經營者的科學決策提供依據。微分學局部求近似、極限求精確的基本思想方法貫穿于整個微積分學體系中，在經濟日益發(fā)展的今天，微分學的地位也與日俱增，貸款、養(yǎng)老金、醫(yī)療保險、企業(yè)分配、市場需求等等金融問題越來越多地進入普通人的生活，利用微分學的知識有利于我們去解決各種相關的問題。 注釋：邊際：是指隨著某一事物超過一定界限而隨著再增