彈性力學(xué)、泛函、變分等基本知識(shí).pptVIP

2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),1,2 有限元法預(yù)備知識(shí),曹?chē)?guó)華,2.1彈性力學(xué)基本知識(shí) 2.2泛函基本知識(shí) 2.3變分法基本知識(shí) 2.4李茲法運(yùn)用,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),2,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),位移,和,應(yīng)變,和,應(yīng)力,和,基本力學(xué)量：,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),3, 外力 ,作用于彈性體的外力(或稱(chēng)荷載)可能有兩種： 面力，是分布于物體表面的力 如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。 單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào) 來(lái)表示。 體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力 如重力、磁力、慣性力等。 單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。 彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),4, 應(yīng)力的概念 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),5,為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力x是作用在垂直于x軸的面上同時(shí)也沿著x軸方向作用的。,正應(yīng)力,加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力xy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。,剪應(yīng)力, 應(yīng)力的概念 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),6,應(yīng)力的正負(fù) 如果某一個(gè)面上的外法線(xiàn)是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 相反，如果某一個(gè)面上的外法線(xiàn)是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線(xiàn)的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。 因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。即：, 應(yīng)力的概念 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),7,可以證明：如果 這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱(chēng)為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示：, 應(yīng)力的概念 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),8, 位 移 ,彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來(lái)描述： 1、給出各點(diǎn)的位移；2、給出各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來(lái)表示。 以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù) 這三個(gè)投影稱(chēng)為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),9, 應(yīng) 變 ,體素的變形(應(yīng)變)可以分為兩類(lèi)： 一類(lèi)是長(zhǎng)度的變化，一類(lèi)是角度的變化。 任一線(xiàn)素的長(zhǎng)度的變化與原有長(zhǎng)度的比值稱(chēng)為線(xiàn)應(yīng)變(或稱(chēng)正應(yīng)變)，用符號(hào) 來(lái)表示。沿坐標(biāo)軸的線(xiàn)應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來(lái)表示。當(dāng)線(xiàn)素伸長(zhǎng)時(shí)，其線(xiàn)應(yīng)變?yōu)檎?。反之，線(xiàn)素縮短時(shí)，其線(xiàn)應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。 任意兩個(gè)原來(lái)彼此正交的線(xiàn)素，在變形后其夾角的變化值稱(chēng)為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號(hào) 來(lái)表示。兩坐標(biāo)軸之間的 角應(yīng)變則加上相應(yīng)的角碼分別用 來(lái)表示。 規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。 (正的 引起正的 ，等等)。,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),10,其中：X、Y、Z為三個(gè)方向的均勻分布體力,彈性力學(xué)基本方程 ,平衡方程（外力與應(yīng)力的關(guān)系）,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),如何得到的？,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),11,以平面問(wèn)題推導(dǎo)平衡微分方程 取出一塊dxdy,厚度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的微元體，將其所受力畫(huà)在其上。設(shè)單位體積上的體積力為,由力矩平衡方程，得,彈性力學(xué)基本方程 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),12, 幾何方程、剛體位移 ,A點(diǎn)在x方向的位移分量為u； B點(diǎn)在x方向的位移分量為：,ABCDABCD(應(yīng)變分量和應(yīng)變分量的關(guān)系) 求線(xiàn)素AB、AD的正應(yīng)變 ，用位移分量來(lái)表示：,線(xiàn)素AB的正應(yīng)變?yōu)椋?同理，AD的正應(yīng)變?yōu)椋?2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),13,線(xiàn)素AB的轉(zhuǎn)角為：,A點(diǎn)在y方向的位移分量為v； B點(diǎn)在y方向的位移分量為：, 幾何方程、剛體位移 ,2.1 彈性力學(xué)基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),14, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小得多的 略去，得,同理，y向線(xiàn)素AD的轉(zhuǎn)角,因此，剪應(yīng)變?yōu)椋?2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),15,以上是考察了體素在xoy一個(gè)平面內(nèi)的變形情況,同樣方法來(lái)考察體素在xoz和yoz平面內(nèi)的變形情況，可得：,聯(lián)立得到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系:, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),16,可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線(xiàn)間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。 因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量，它們就稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。 六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示：, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),17,剛體位移：由幾何方程可見(jiàn)，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過(guò)來(lái)，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，令：,有,積分得,為積分常數(shù)，即剛體位移。,式中，, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),18, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,當(dāng)沿x軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿(mǎn)足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在x方向的單位伸長(zhǎng)則可表以方程,應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系 -虎克定律,式中，E為彈性模量。彈性體在x方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮，即在y和z方向的單位縮短可表示為：,式中， 為泊松比。 上述兩個(gè)方程可用于簡(jiǎn)單和壓縮。,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),19,設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用上兩式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。 單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)E及所確定。 兩個(gè)常數(shù)也可用來(lái)確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),20,如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖所示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到： 式中G稱(chēng)為剪切模量，它與彈性模量E，泊松比存在如下的關(guān)系： 前面的正應(yīng)變與上式中的剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；六個(gè)關(guān)系式寫(xiě)在一起，得左式，稱(chēng)為彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱(chēng)為廣義虎克定律。, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),21,將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱(chēng)為物理方程的第一種形式。 若將上左式(改寫(xiě)成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，可得物理方程的第二種形式：, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),22,式(12)可用矩陣的形式表示如下：,上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為由彈性體性質(zhì)決定的物理方程：, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,彈性矩陣,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),23,完全決定于彈性常數(shù)E和, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,彈性矩陣,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),24,總結(jié)-彈性力學(xué)基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、幾何方程,三、本構(gòu)關(guān)系(物理方程）,2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),25,簡(jiǎn)單地說(shuō)，泛函也是一種“函數(shù)”，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量”，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。,說(shuō)明泛函具體含義的一個(gè)實(shí)例：最速降線(xiàn)問(wèn)題,若對(duì)于某一類(lèi)函數(shù)y(x) 中的每一函數(shù)y(x)， 有一值與之對(duì)應(yīng)，或數(shù) 對(duì)應(yīng)于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立。則稱(chēng)變量 是函數(shù)y(x)的泛函，即： = y(x),2.2 泛函基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),26,實(shí)例：在xy平面內(nèi)，假設(shè)在AB兩定點(diǎn)連成的曲線(xiàn)上有一質(zhì)點(diǎn)。此質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，無(wú)摩擦地從A滑到B需要一定的時(shí)間T。,假設(shè)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，故質(zhì)點(diǎn)由A滑到B的速度為,則T為,實(shí)例：最速降線(xiàn)問(wèn)題,T是隨不同的曲線(xiàn)y(x)而改變的。所以T 是一個(gè)泛函。,2.2 泛函基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),27,泛函的基本點(diǎn),（1）泛函有它的定義域。定義域是指滿(mǎn)足一定的邊界條件、初始條件和函數(shù)的連續(xù)程度的函數(shù)集。定義域內(nèi)的函數(shù)稱(chēng)為可取函數(shù)或容許函數(shù)。y(x)亦稱(chēng)為泛函的宗量函數(shù)或者泛函變量。,（2）泛函y(x)與可取函數(shù)y(x)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。泛函的值是由一條可取曲線(xiàn)的整體性質(zhì)決定的。,2.2 泛函基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),28,變分法是在一組容許函數(shù)中選定一個(gè)函數(shù)，使給定的泛函取駐值(研究求泛函極大（?。┲档姆椒?。,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),29,對(duì)變分學(xué)發(fā)展有重大影響的其中一個(gè)歷史命題：,最速降線(xiàn)問(wèn)題：在A、B兩端點(diǎn)固定的邊界條件下，從A滑到B所需的時(shí)間最短。,通過(guò)質(zhì)點(diǎn)滑過(guò)曲線(xiàn)所需時(shí)間的變分為零，即,求得最速降線(xiàn)。,John Bornouli 于1696年提出。,T =0,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),30,變分及其特性,泛函宗量變分,定義：對(duì)于泛函y(x)，y(x)是定義域中的任何元素，取y(x)-y0(x) 稱(chēng)為y(x)在y0(x)上的變分，記作y=y(x)-y0(x),常用y=y(x)-y0(x)作為泛函宗量y(x)的變分。,變分y和函數(shù)微分dy的區(qū)別：,變分y反映的是整個(gè)函數(shù)的改變 函數(shù)微分dy反映的是同一函數(shù)y(x)因x取不同值而產(chǎn)生的差異。,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),31,實(shí)例：在xy平面內(nèi)，假設(shè)在AB兩定點(diǎn)連成的曲線(xiàn)上有一質(zhì)點(diǎn)。此質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，無(wú)摩擦地從A滑到B需要一定的時(shí)間T。,?,變分極值條件,變分及其特性,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),32,變分性質(zhì),變分極值條件,由于 的任意性,歐拉方程,變分及其特性,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),33,歐拉方程,變分及其特性,2.3 變分法基本知識(shí),2019/7/1,有限元法預(yù)備知識(shí),34,變分及其特性,2.3