有感于顧沛教授主講“數(shù)學(xué)文化”

探索數(shù)學(xué)之美有感于顧沛教授主講“數(shù)學(xué)文化”2015年10月1516日，我有幸在重慶市大渡口區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)參加了“2015年全國(guó)數(shù)學(xué)文化在小學(xué)素質(zhì)教育中的時(shí)間探索研討會(huì)”在會(huì)上顧沛教授雖然已年過(guò)六旬，但依然精神抖擻，談笑風(fēng)生；他是一名學(xué)者，潛心治學(xué)數(shù)十載，勇于創(chuàng)新，開(kāi)數(shù)學(xué)文化之先河，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)式理性思維，使原本晦澀艱深的理論知識(shí)變得妙趣橫生，耐人尋味；他是首屆國(guó)家級(jí)教學(xué)名師，南開(kāi)大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”課程的創(chuàng)始者和主講人。在會(huì)上，顧教授帶著他慣有的謙和與從容走上講壇，與大家漫談數(shù)學(xué)文化，分享數(shù)學(xué)之美。第一講到：走近“數(shù)學(xué)文化” 解密雙層內(nèi)涵他說(shuō)：可能對(duì)很多人而言，“數(shù)學(xué)文化”一詞還是陌生的。在2003年教育部頒布的“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中，它首次作為官方用語(yǔ)出現(xiàn)，這之后便廣泛地流傳開(kāi)來(lái)，時(shí)至今日，已有越來(lái)越多的人們更愿意從文化這一角度去關(guān)注數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)其文化價(jià)值。不同于物理、化學(xué)這些自然學(xué)科，數(shù)學(xué)是對(duì)事物高度抽象的結(jié)果，是人腦的產(chǎn)物，它為人們提供的是靈活的思考方式和解決問(wèn)題的方法。而作為一種特殊的文化形態(tài)，“數(shù)學(xué)文化”又包含著狹義和廣義兩層內(nèi)涵，從狹義上說(shuō)，它僅僅指的是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展；而從更深層面上說(shuō)，數(shù)學(xué)文化還涵蓋著數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系。第二講到：提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 養(yǎng)成數(shù)學(xué)式思維一位數(shù)學(xué)教育家曾說(shuō)過(guò)，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，都會(huì)隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使人們終生受益。這種從數(shù)學(xué)角度出發(fā)看問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維方式也正是顧教授所一直強(qiáng)調(diào)和提倡的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。通俗地說(shuō)，也就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉之后所剩下的東西，這就要求我們要跳出公式和定理的本身，去探索更為本質(zhì)的東西。而面對(duì)中國(guó)現(xiàn)行的教育模式，顧教授又不無(wú)擔(dān)憂地指出，由于教學(xué)方式和內(nèi)容的局限，盡管一個(gè)人經(jīng)歷了至少長(zhǎng)達(dá)十三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但卻往往只得皮毛，對(duì)數(shù)學(xué)的精髓毫無(wú)概念，在宏觀上把握數(shù)學(xué)的能力較差，也就是所謂的數(shù)學(xué)素養(yǎng)太差，甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解題、考試，而不了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛的應(yīng)用，這不得不說(shuō)是教育的一大怪圈，為了解決這樣的弊端，同時(shí)也是本著教授數(shù)學(xué)的思想、精神和方法；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的初衷，由顧教授首創(chuàng)的南開(kāi)大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”公選課程便應(yīng)運(yùn)而生了。那么，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在我們的日常生活中又有哪些運(yùn)用和體現(xiàn)呢？緊接著，顧教授便給大家看了一道關(guān)于“病狗”的題目，這道微軟公司招聘員工的考題，乍一看上去，似乎是簡(jiǎn)單的腦筋急轉(zhuǎn)彎，仔細(xì)推敲，卻是一道設(shè)計(jì)巧妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，正確的解答需結(jié)合運(yùn)用反證法和數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)謎底揭曉時(shí)，在座的每一位都為這其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維驚嘆不已。題目是：村子里有50個(gè)人，每人有一條狗。在這50條狗中有病狗(這種病不會(huì)傳染)。于是人們就要找出病狗。每個(gè)人可以觀察其他的49條狗，以判斷它們是否生病，只有自己的狗不能看。觀察后得到的結(jié)果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算出自己家的是病狗就要槍斃自己的狗，而且每個(gè)人只有權(quán)利槍斃自己的狗，沒(méi)有權(quán)利打死其他人的狗。第一天，第二天都沒(méi)有槍響。一直到第十天傳來(lái)一陣槍聲，問(wèn)有幾條病狗，如何推算得出？他給了我們兩點(diǎn)：1、病狗肯定不止一條；2、數(shù)學(xué)歸納法。第三講到：從三次危機(jī)著手 了解數(shù)學(xué)歷史歷史告訴我們，科學(xué)的道路從不平坦，在數(shù)學(xué)的發(fā)展軌跡中，就曾發(fā)生過(guò)三次重大的危機(jī)，講座中，顧教授著重給為我們介紹了由牛頓的“無(wú)窮小”而引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。眾所周知，牛頓是20世紀(jì)最偉大的科學(xué)家之一，他的微積分理論更堪稱是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，然而這套運(yùn)算方法卻因?yàn)榇嬖谶壿嬌系膯?wèn)題而被英國(guó)大主教貝克萊猛烈攻擊，在接下來(lái)的兩百多年里，盡管數(shù)學(xué)家們不懈探索，嘗試各種各樣的方法，但都未能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地解決了這一難題，而魏爾斯特拉斯數(shù)學(xué)語(yǔ)言的問(wèn)世更是為這個(gè)困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)多世紀(jì)的爭(zhēng)論畫(huà)上了圓滿的句號(hào)。我們不得不感慨，知識(shí)的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的，書(shū)本上的知識(shí)往往是按部就班，從簡(jiǎn)到繁，然而這些公式、定理的確立都是歷經(jīng)了無(wú)數(shù)次被懷疑，被否定，被考驗(yàn)的過(guò)程，這其中數(shù)學(xué)家們付出的艱辛可想而知，站在前人的肩膀上的我們，要真正理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，就應(yīng)該懂得發(fā)掘歷史，銘記這些背后的故事。第四講了十個(gè)例子 多重角度展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美這十個(gè)例子是：例一：芝諾悖論與無(wú)限從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)很多人都聽(tīng)過(guò)芝諾悖論中的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的問(wèn)題，顧沛在分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)，指出這一悖論的癥結(jié)在于混淆了有限與無(wú)限的問(wèn)題。芝諾認(rèn)為阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^(guò)程中，首先要到達(dá)烏龜原先的位置A，而這時(shí)烏龜已經(jīng)到了位置B，阿基里斯繼續(xù)追趕則要先到達(dá)B，這時(shí)烏龜又到達(dá)了位置C，以此類(lèi)推，阿基里斯似乎永遠(yuǎn)也追不上烏龜了，可是芝諾卻忽視了一個(gè)問(wèn)題，無(wú)限長(zhǎng)度或時(shí)間的和，可能是有限的。另一個(gè)與無(wú)限有關(guān)的是“有無(wú)限個(gè)房間的旅館”問(wèn)題，一個(gè)有無(wú)限個(gè)房間的旅館客滿后來(lái)了一個(gè)客人，應(yīng)該怎樣安排他？答案很簡(jiǎn)單，讓原先住在1號(hào)房的客人搬進(jìn)2號(hào)房，原先住在2號(hào)房的客人住進(jìn)3號(hào)房，以此類(lèi)推，讓原先住在K號(hào)房的客人住進(jìn)K+1號(hào)房，這樣就空出了1號(hào)房給新來(lái)的客人。同理，來(lái)了一個(gè)團(tuán)的無(wú)窮個(gè)旅客，一萬(wàn)個(gè)團(tuán)的無(wú)窮個(gè)旅客甚至無(wú)窮個(gè)團(tuán)的無(wú)窮個(gè)旅客也應(yīng)對(duì)自如了。在場(chǎng)的許多同學(xué)都有所領(lǐng)悟，給出了精彩的解答。奇妙的數(shù)學(xué)，從有限到無(wú)限，不可能的也成了可能。例二：海岸線的長(zhǎng)度問(wèn)題分形與混沌首先是分形問(wèn)題。BBMandelbrot發(fā)現(xiàn)英國(guó)的海岸線永遠(yuǎn)也無(wú)法測(cè)量，為什么呢？柯赫曲線的幾何現(xiàn)象說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。（組圖略）這樣的一組圖具有自相似性，在測(cè)量海岸線時(shí)，如果尺子的長(zhǎng)度精確度不同，那么海岸線的形狀就可以無(wú)限分形，當(dāng)然無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量了。正是這樣一個(gè)問(wèn)題，發(fā)展成了數(shù)學(xué)界一個(gè)非常重要的分支?；煦鐔?wèn)題。這個(gè)問(wèn)題是ENLorenz在做天氣預(yù)報(bào)中發(fā)現(xiàn)的。大家都知道的“蝴蝶效應(yīng)”，也是一種混沌現(xiàn)象，由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)處不在。例三：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)的思想大解放顧沛講到，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，卻不知道數(shù)學(xué)背后的歷史。牛頓為了計(jì)算瞬時(shí)速度，創(chuàng)立了微積分學(xué)，可是貝克萊卻對(duì)牛頓發(fā)難：無(wú)窮小作為一個(gè)量，究竟是否為0？在算式s/ t=gt+1/2 g( t)中，貝克萊質(zhì)疑道：如果無(wú)窮小量等于0，則等號(hào)左端無(wú)意義，若不等于0，則右邊的后一項(xiàng)不能隨意取掉，因此，反駁貝克萊成了一個(gè)棘手的問(wèn)題。直到數(shù)百年后，柯西的極限理論的出現(xiàn)，“-”語(yǔ)言的出現(xiàn)。才消除了這一危機(jī)。由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)中，知識(shí)的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的。例四：周髀算經(jīng)與勾股定理中國(guó)和世界數(shù)學(xué)的驕傲顧沛講到，很多人都知道北京2008年舉行奧運(yùn)會(huì)，可是卻很少有人知道2002年在北京舉行的“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”，這是我國(guó)許多世界頂尖數(shù)學(xué)大師和政府爭(zhēng)取來(lái)的榮譽(yù)。這次大會(huì)的會(huì)徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。美國(guó)宇航局的一次尋找外星人的行動(dòng)中，也帶去了一個(gè)證明勾股圖形的黃金制品，可見(jiàn)勾股定理的證明是世界的驕傲。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達(dá)380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。例五：蒲豐投針問(wèn)題什么是創(chuàng)新1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫(huà)著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放。事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，共投針2212枚，與直線相交的704枚，兩者相處，正好等于圓周率。求圓周率是一個(gè)幾何問(wèn)題，而蒲豐卻用概率的方法解決了，完全不相同的兩個(gè)領(lǐng)域被神奇地聯(lián)系起來(lái)，這就是某種意義上的創(chuàng)新。例六：變換的方法化繁為簡(jiǎn)來(lái)看一道很常見(jiàn)的數(shù)學(xué)題“小王先快后慢，以不規(guī)則的速度用100秒沿直線從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，有先慢后快以相反的方式從B返回A，問(wèn)什么情況下，在A，B間存在C使小王從A到B的時(shí)間等于從B到A的時(shí)間。為什么？”當(dāng)然答案非常簡(jiǎn)單，只需將第二次的小王換成大王。兩者同時(shí)出發(fā)，問(wèn)題就變成了解決一個(gè)相遇問(wèn)題了。而題目中大部分條件都是起迷惑作用的。顧沛在講完這道題后，告誡大家，現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題紛繁復(fù)雜，要學(xué)會(huì)用這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)簡(jiǎn)化條件，解決問(wèn)題。例七：類(lèi)比的方法舉一反三4個(gè)平面最多把空間分成多少個(gè)部分？答案是15個(gè)，但絕對(duì)不是由“4*4-1”得出的。方法是這樣的，四個(gè)平面的情況中最復(fù)雜的是這四個(gè)平面組成了一個(gè)四面體，然后將四面體平展成一個(gè)平面，于是主要問(wèn)題就集中在四面體的棱把這個(gè)平面分成幾份了。將陌生的復(fù)雜的問(wèn)題用熟悉的簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)類(lèi)比，同樣也是生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。例八：哥尼斯堡七橋問(wèn)題抽象的觀點(diǎn)如何將哥尼斯堡的一條小河上的7座橋一次性走完呢？居民在多次嘗試無(wú)果后，來(lái)請(qǐng)教大數(shù)學(xué)家歐拉。于是聰明的歐拉將居民的問(wèn)題抽象為一筆畫(huà)問(wèn)題，在他的圖紙上，線條的交點(diǎn)被分為奇界點(diǎn)和偶界點(diǎn)，并得出了一筆畫(huà)問(wèn)題能成功的充要條件：奇界點(diǎn)2個(gè)。這就是抽象的觀點(diǎn)的精髓：抓住問(wèn)題本質(zhì)，突出問(wèn)題本質(zhì)。例九：“變中有不變”的觀點(diǎn)數(shù)學(xué)的生命力數(shù)學(xué)大師陳省身先生，曾指出“三角形內(nèi)角和為108度”這個(gè)命題不好，而認(rèn)為“n邊形的外角和為360度”是個(gè)好命題，因?yàn)樗淖冎杏胁蛔?。例十：?shù)學(xué)中的審美的思想數(shù)學(xué)的藝術(shù)數(shù)學(xué)中有很多種類(lèi)的美，簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美顧教授給在座的展示了埃爾蘭根綱領(lǐng)，歐拉公式，黃金比，斐波那契數(shù)列等許多讓人匪夷所思的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，著實(shí)讓在座的每一位傾倒于數(shù)學(xué)的無(wú)限魅力。 最后一部分，顧教授由周髀算經(jīng)和勾股定理入手，運(yùn)用十個(gè)具體形象的例子從不同的角度講述了數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)的魅力“蒲豐投針”告訴大家什么是創(chuàng)新；“變換的方法”教會(huì)同學(xué)們?nèi)绾位睘楹?jiǎn)，利用數(shù)學(xué)素養(yǎng)簡(jiǎn)化條件，解決問(wèn)題；“類(lèi)比