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橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),知識(shí)儲(chǔ)備案:,1.橢圓的定義:,到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2 |)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:,3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:,當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí),當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí),a,F2,F1,O,B2,B1,A1,A2,x,y,c,b,知識(shí)儲(chǔ)備案:,找出a、b、c所表示的線段。,B2F2O叫橢圓的特征三角形。,二、橢圓 簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),問(wèn)題1:指出A1 、A2 、B1、B2 的坐標(biāo)? 問(wèn)題2:指出橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍? 問(wèn)題3:指出橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍? 結(jié)論:橢圓中 -a x a, -b y b. 橢圓落在x= a, y= b組成的矩形中,1、范圍:,2、橢圓的對(duì)稱(chēng)性,x,x,對(duì)稱(chēng)軸:x軸、y軸 對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn),2、對(duì)稱(chēng)性:,從圖形上看,橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 從方程上看: (1)把x換成-x方程不變,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng); (2)把y換成-y方程不變,圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng); (3)把x換成-x,同時(shí)把y換成-y方程不變,圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。,3、橢圓的頂點(diǎn),令 x=0,得 y=?,說(shuō)明橢圓與 y軸的交點(diǎn)? 令 y=0,得 x=?說(shuō)明橢圓與 x軸的交點(diǎn)?,*頂點(diǎn):橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn),叫做橢圓的頂點(diǎn)。 *長(zhǎng)軸、短軸:線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。 a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。,根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫(huà)出下列圖形,(1),(2),A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,4、橢圓的離心率e(刻畫(huà)橢圓扁平程度的量),離心率:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比:,叫做橢圓的離心率。,1離心率的取值范圍:,2離心率對(duì)橢圓形狀的影響:,0e1,1)e 越接近 1,c 就越接近 a,從而 b就越小,橢圓就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,從而 b就越大,橢圓就越圓,3e與a,b的關(guān)系:,思考:當(dāng)e0時(shí),曲線是什么?當(dāng)e1時(shí)曲 線又是 什么?,|x| a,|y| b,關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng);關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b. ab,|x| a,|y| b,關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng);關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b. ab,|x| b,|y| a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),同前,同前,同前,(0e1),(e越接近于1越扁),例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是: 。短軸長(zhǎng)是: 。 焦距是: 。 離心率等于: 。 焦點(diǎn)坐標(biāo)是: 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是: 。 外切矩形的面積等于: 。,10,6,8,60,解題的關(guān)鍵:1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程 明確a、b,2、確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置,例5 電影放映燈泡的反射面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分。過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)。已知 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求截口BAC所在橢圓的方程。,課本例題,練習(xí):已知橢圓 的離心率 求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐 標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。,例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2); 長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離心率3/5。 一焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成:的兩部分,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),解: 方法一:設(shè)方程為mx2ny21(m0,n0,mn),將點(diǎn)的坐標(biāo)方程,求出m1/9,n1/4。,方法二:利用橢圓的幾何性質(zhì),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),于是焦點(diǎn)在x軸上,且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn) ,故a3,b2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,注:待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟: 定位; 定量,或,或,練習(xí): 1. 根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為8和6,焦點(diǎn)在x軸上 長(zhǎng)軸和短軸分別在y軸,x軸上,經(jīng)過(guò)P(-2,0), Q(0,-3)兩點(diǎn). 一焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)一頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5) 兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,4) 焦距是12,離心率是0.6,焦點(diǎn)在x軸上。,2. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(6,0)點(diǎn)B,C是短軸的兩端點(diǎn),F(xiàn)BC是等邊三角形,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,例3:(1)橢圓 的左焦點(diǎn) 是兩個(gè)頂點(diǎn),如果到直線AB的距 離為 ,則橢圓的離心率e= . (3)設(shè)M為橢圓 上一點(diǎn), 為橢圓的焦 點(diǎn), 如果 ,求橢圓的離心率。,小結(jié):,本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量a,b,c,e及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)中心及其相互之間的關(guān)系,這對(duì)我們解決橢圓中的相關(guān)問(wèn)題有很大的幫助,給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中,我們更多的是從方程的形式這個(gè)角度來(lái)挖掘題目中的隱含條件,需要我們認(rèn)
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