身高體重數(shù)學(xué)建模

運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的擬合方法,擬合是對不同類型事物之間關(guān)系之表象的抽象。任何一個單一的關(guān)系必須依賴其他關(guān)系而存在，所有實(shí)際事物的關(guān)系都表現(xiàn)得非常復(fù)雜，這種方法就是對規(guī)律或趨勢的擬合。擬合的成果是模型，反映一般趨勢，趨勢表達(dá)的是“事物和關(guān)系的變化過程在數(shù)量上所體現(xiàn)的模式和基于此而預(yù)示的可能性”。即是本題中身高與體重所體現(xiàn)的關(guān)系. 該問題是讓我們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和定理,來建立一個關(guān)于身高與體重的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式.并在實(shí)例中進(jìn)行檢驗,評價其合理性. 通過分析我們得出最為合理的一種假設(shè),設(shè)其為指數(shù)函數(shù).并根據(jù)假設(shè)經(jīng)過繪圖求解、驗證得出關(guān)于身高與體重的函數(shù)模型為:xey0197.0004.2=.經(jīng)過分析該模型比較科學(xué)的反映出身高與體重的關(guān)系.但沒有考慮過多因素的影響.因此,我們在衡量體重時應(yīng)考慮諸多實(shí)際因素. 關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)擬合繪圖通過分析題意作如下重述:表一是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表：根據(jù)表(一)中提供的數(shù)據(jù),要求我們用已經(jīng)學(xué)過的一種函數(shù),使它比較近似的反映出該地區(qū)未成年男性體重y關(guān)于身高x的函數(shù)關(guān)系,并求出這個函數(shù)的解析式.根據(jù)表(二),結(jié)合實(shí)例,驗證求出的函數(shù)是否適合不同的年齡和性別.給出驗證的方法、公式和標(biāo)準(zhǔn),提出修正意見. 二、問題分析 根據(jù)實(shí)際情況,體重受身高、年齡、性別、飲食、地域、國家、環(huán)境的影響.不同身高、年齡、性別、國家、地域的人們的體重是有差別的.如:中年人和兒童,日本人和美國人,中國的南方和北方.該題忽略以上因素的影響. 根據(jù)圖表(一)我們可以知道,本題屬于擬合問題.表中提供的數(shù)據(jù)可得出如下函數(shù)圖象:通過分析,此圖象在第一象限且呈遞增趨勢.我們得出四種假設(shè):假設(shè)一 通過該圖象的走勢與形狀,我們假設(shè)它是一條直線,由于該直線全部位于第一象限,也就是,x()0,+,y()0,+,并且該圖象與y軸的交點(diǎn)我們設(shè)為()0,b,b的范圍為b()0,10,其表達(dá)式為:yaxb=+通過matlab軟件得出數(shù)值(詳細(xì)結(jié)果見附錄),我們得出如下結(jié)論:0.4294,25.3180ab=代入得10.429425.3180 yx=假設(shè)二 觀察圖象類似于二次函數(shù)曲線圖象,我們做出第二種假設(shè).其系數(shù)設(shè)為1a,1b常數(shù)項為1c.其必須滿足條件為:1a()0,+,c1()0,10,其表達(dá)式為:2111yaxbxc=+通過matlab軟件得出數(shù)值(詳細(xì)結(jié)果見附錄),我們得出如下結(jié)論:1110.0037,0.4310,19.6973abc=代入得 220.00370.431019.6973假設(shè)三 該圖象又類似于三次函數(shù)在第一象限的走勢,我們作出第三種假設(shè).其系數(shù)設(shè)為222,abc常數(shù)項為d,其必須滿足的條件是:2 a()0,+,d()0,10,其表達(dá)式為:32222yaxbxcxd=+通過matlab 軟件得出數(shù)值(詳細(xì)結(jié)果見附錄),我們得出如下結(jié)論: 2220.0000,0.0037,0.3828,7.9668abcd=由于20.0000a=所以三次項系數(shù)為0,表達(dá)式變?yōu)?230.00370.38287.9668yxx=+假設(shè)四 分析圖象又可得出第四種假設(shè),由于該圖象可由指數(shù)函數(shù)xya=變 換得出,故設(shè)其表達(dá)式為:33bx yae=其中必須滿足條 件:()()330,0,ab+,通過matlab軟件得出數(shù)值(詳細(xì)結(jié)果見附錄),我們得出如下結(jié)論:0197.0,004.233=ba,代入表達(dá)式可得: x ey0197.04004.2=根據(jù)假設(shè)繪制函數(shù)對比圖象如下:(注: 10.429425.3180 yx=, 220.00370.431019.6973 yxx=+, 230.00370.38287.9668yxx=+,x e y0197.04004.2=詳圖見附錄).又分析可知:假設(shè)一中b的范圍為()0,10與所求出的結(jié)果25.3180b=不符,故此種假設(shè)一不成立.又假設(shè)二中1c的范圍是()0,10與所求出的結(jié)果 119.6973c=不符故假設(shè)二不成立.然而假設(shè)三中20.0000,7.9668ad=與其必須滿足的條件:2a的范圍()0,+和d的范圍()0,10不符,故假設(shè)三不成立.而假設(shè)四中所求結(jié)果0.695233,0.0197aeb=與其范圍:()()330,0,ab+完全符合故假設(shè)四成立. 又由圖可知與原函數(shù)圖象y偏離最遠(yuǎn)的是圖象3y、偏離較遠(yuǎn)的是圖象1y、偏離較小的是2y、重合最多的是4y.所以函數(shù)xey0197.04004.2=即為所擬合的函數(shù)也就是所求原函數(shù)的解析式. 三、模型建立及求解 由于體重受身高、年齡、性別等諸多因素的影響,很難找到一個適 合每個人和每個年齡階段的非常準(zhǔn)確的公式來衡量.為此,只能選取影響體重最直接的因素身高來建立一個基本的數(shù)學(xué)模型從宏觀上反映體重 與身高的關(guān)系.根據(jù)上述假設(shè)分析可得出身高與體重之間的簡化模型是 xey0197.0004.2=其中自變量x表示身高,因變量y表示體重.其圖象如下: 根據(jù)上述分析可得出身高與體重之間的基本模型是 ln0.69520.0197yx=+兩邊取常用對數(shù),得其簡化模型是 xey0197.0004.2=.其中自變量x表示身高,因變量y表示體重.其圖象如下根據(jù)已得出的簡化模型xey0197.0004.2=,運(yùn)用擬合的數(shù)學(xué)思想,借助matlab軟件,把采集到的數(shù)據(jù)樣本中的身高176174.5176180176167178168181162165 181 171 174 170 176 160 160 168 161 代入簡化模型xey0197.0004.2=,得出驗證過程如下:其驗證體重(kg)分別是：64.2255,62.3554,64.2255,69.4912,64.2255,53.7907,66.8065,54.8069,70.8737,48.7449,51.7125,70.8737,58.2009,61.7442,57.0655,64.2255,52.7414,46.8617,54.8609,47.79407 與身高的關(guān)系.根據(jù)上述假設(shè)分析可得出身高與體重之間的簡化模型是 xey0197.0004.2=其中自變量x表示身高,因變量y表示體重.其圖象如下: 根據(jù)上述分析可得出身高與體重之間的基本模型是 ln0.69520.0197yx=+兩邊取常用對數(shù),得其簡化模型是 xey0197.0004.2=.其中自變量x表示身高,因變量y表示體重.其圖象如下: 根據(jù)已得出的簡化模型xey0197.0004.2=,運(yùn)用擬合的數(shù)學(xué)思想,借助matlab軟件,把采集到的數(shù)據(jù)樣本中的身高176174.5176180176167178168181162165 181 171 174 170 176 160 160 168 161 代入簡化模型xey0197.0004.2=,得出驗證過程如下: 其驗證體重(kg)分別是:64.2255,62.3554,64.2255,69.4912,64.2255,53.7907,66.8065,54.8069,70.8737,48.7449,51.7125,70.8737,58.2009,61.7442,57.0655,64.2255,52.7414,46.8617,54.8609,47.7940 四、結(jié)論分析及檢驗 通過模型求解,得出實(shí)際體重與驗證體重的對比數(shù)值如下表:性 別男1男2男3男4男5女1男68年齡22202020202020身高(cm) 176 174.5176180176167178實(shí)際體重(kg) 75796370706074驗證體重(kg)64.225562.355464.225569.491264.225553.790966.8065.誤差10.774516.6446-1.2250.50885.77456.20917.1935性別女2男7男8男9男10男11女3年齡21212221222221身高165 181 171 174170176160實(shí)際55706268656555驗證51.712570.873758.200961.744257.065564.225552.7414誤差3.2875-0.87373.79916.2558 7.93450.77452.2586性別男12 女4 男13 女5 女6 女7 年齡212122222021身高181162168161168160實(shí)際644355555544驗證70.873848.744954.860947.794054.860946.8617誤差 -6.8737-5.74490.13917.2060.1391-2.8617通過誤差分析,在此我們把誤差控制在6kg以內(nèi),20個人的體重中有12人符合所建立的簡化模型,也就是60%的人體重與身高符合簡化模型,在此我們忽略了影響身高的因素年齡和性別,導(dǎo)致了誤差的產(chǎn)生,我們可以假設(shè)年齡和性別相同的情況下,這一模型的適用性、合理性會更強(qiáng).此公式的合理性就在于能夠通過身高比較近似的反映出一個人的體重.據(jù)此,我們提出一些修正意見,在衡量一個人的體重時,應(yīng)綜合考慮地域、年齡、飲食等諸方面的因素. 由于采集樣本中身高差異較大,相同身高的人數(shù)比例較少.所以在誤差(誤差3cm)允許的范圍內(nèi)采取以下分組: 、160162cmcm共4人他們身高的平均值是;160+162+161+160/4=160.75cm9 、165167cmcm共2人他們身高的平均值是;167+165/2=166cm; 、168170cmcm共3人他們的身高的平均植是:170+168+168/3=168.6667cm 、171174cmcm共3人他們的身高的平均植是:171+174.5+174/3=173.1667cm 、176cm共4人他們的身高的平均植是:176+176+176+176/4=176cm 、178181cmcm共4人他們的身高的平均植是:178+181+181+180/4=180cm 把六組身高平均值代入xey0197.0004.2=得出六組體重平均值,計算結(jié)果如下: 即他們的體重(kg)平均值分別為:47.5592,52.7414,55.5865,60.7389,64.2255,69.4912 根據(jù)題目中的要求,體重超過相同身高平均值的1.2倍為偏胖,底于0.8倍的為偏瘦.運(yùn)用實(shí)際平均值/平均體重進(jìn)行對比,過程如下:第一組: 55/47.55921.156=;44/47.55920.925=； 55/47.55921.156=；43/47.55920.904 =; 由于該組沒有超過相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均為正常.第二組: 55/52.74141.043=；60/52.74141.138=; 由于該組沒有超過相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均為正常.第三組: 55/55.58650.989=;55/55.58650.989=; 65/55.58651.169=; 由于該組沒有超過相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均為10 正常.第四組: 62/60.73891.021=;79/60.73891.301=;68/60.73891.112 =由于該組有一位同學(xué)超過相同身高平均值的1.2倍,為偏胖,其它均為正常.第五組: 65/64.22551.012 =; 63/64.22550.981=; 70/64.22551.090=;70/64.22551.168 =由于該組沒有超過相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均為正常.第六組: 74/69.49121.065=;70/69.49121.007=;64/69.49120.921=; 70/69.49121.007 =由于該組沒有超過相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均為正常. 以下是從網(wǎng)上搜索到的現(xiàn)在流行的一些計算標(biāo)準(zhǔn)體重的公式:公式一 男生58公斤0.6（身高166公分）標(biāo)準(zhǔn)體重。女生51公斤0.5（身高155公分）標(biāo)準(zhǔn)體重。 上述公式忽略年齡的差別,并盲目采用體重和身高的標(biāo)準(zhǔn)來判斷一個人是否超重,經(jīng)過代入實(shí)際采集的數(shù)值檢驗,該公式不太科學(xué),具有很大的片面性.公式二 身高 計算公式 159cm以下身高-100=標(biāo)準(zhǔn)體重 160-164cm(身高-100)0.9=標(biāo)準(zhǔn)體重165-169cm身高-105=標(biāo)準(zhǔn)體重170cm以上 身高-110=標(biāo)準(zhǔn)體重11 上述公式雖然在身高上分得很詳細(xì),但是忽略了年齡、性別的差異,但是造成了男女身高相同但是體重不同的實(shí)際情況.所以該公式也不太科學(xué).公式三 男性標(biāo)準(zhǔn)體重（kg）身高（cm）-105女性標(biāo)準(zhǔn)體重（kg）身高（cm）-100此標(biāo)準(zhǔn)上下波動10屬正常范圍。小于1020為輕度營養(yǎng)不良。小于2040為中度營養(yǎng)不良。小于40為嚴(yán)重營養(yǎng)不良。大于1020為超重。大于20為肥胖。 該公式也忽略了受體重影響的諸多因素,如:年齡、地域、飲食等,因而該公式也是不科學(xué)的. 五、模型評價 優(yōu)點(diǎn):此模型運(yùn)用擬合的思想,能夠比較科學(xué)的反映出身高與體重之間的關(guān)系,是衡量體重的比較合適的方法.由我們的計算、推導(dǎo)、驗證且正確率較高. 缺點(diǎn):該模型忽略