中考專題(開放性問題專題)

中考專題（開放性問題專題）一知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理教育部于1999、2000年接連印發(fā)的關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見中明確要求，數(shù)學(xué)試題應(yīng)設(shè)計(jì)一定的“開放性問題”此后，開放型試題成為各地中考的必考試題所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)想像、擴(kuò)散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型開放型試題重在開發(fā)思維，促進(jìn)創(chuàng)新，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點(diǎn)考題觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證是科學(xué)思維方法，是新課標(biāo)思維能力新添的內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)重視并應(yīng)用開放題是中考題多樣化和時(shí)代發(fā)展要求的產(chǎn)物，單一的題型和測(cè)試目標(biāo)限制了考生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平的，也有利于考生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開放題的實(shí)質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過(guò)程的探究性，它是開放題的途徑；知識(shí)的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實(shí)踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開放題的認(rèn)識(shí)過(guò)程開放或結(jié)論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問題，有助于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的潛在能力題型1條件開放與探索條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補(bǔ)充的條件不是得出結(jié)論的必要條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論推出題型2結(jié)論開放與探索給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要解題者進(jìn)行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性問題它要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力 題型3解題方法的開放與探索策略開放性問題，一般指解題方法不惟一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者不墨守成規(guī)，善于標(biāo)新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過(guò)程二、知識(shí)運(yùn)用舉例（一）條件開放例1.(04蘇州) 已知（x1，y1），(x2，y2)為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)x1x20時(shí)，y1y2，則k的一個(gè)值可為_（只需寫出符號(hào)條件的一個(gè)k的值）解： 答案不唯一，只要符合k0即可，如k 1，或k 2例2.(05深圳市) 如圖，已知，在ABC和DCB中，ACDB，若不增加任何字母與輔助線，要使ABCDCB，則還需增加一個(gè)條件是_DCB 例2圖 解：答案不惟一.如：ABDC；ACBDBC；ADRt例3（07南京市）已知點(diǎn)位于第二象限，并且，為整數(shù)，寫出一個(gè)符合上述條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：答：，六個(gè)中任意寫出一個(gè)即可例4（05梅州）如圖，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)（1）如果_ ，則DECBFA（請(qǐng)你填上能使結(jié)論成立的一個(gè)條件）；（2）證明你的結(jié)論分析：這是一道探索條件、補(bǔ)充條件的開放型試題，解決這類問題的方法是假設(shè)結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件解：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DEBF等等） （2）四邊形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DCEBAF 又AECF，ACAEACCF，AFCE，DECBAF說(shuō)明：考查了矩形的性質(zhì)及三角形全等的判定例5（06泰州市）已知：MAN30，O為邊AN上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，2為半徑作O，交AN于D，E兩點(diǎn)，設(shè)ADx （1）如圖（1）當(dāng)x取何值時(shí)，O與AM相切；（2）如圖（2）當(dāng)x為何值時(shí)，O與AM相交于B，C兩點(diǎn)，且BOC90【解答】（1）在圖（1）中，當(dāng)O與AM相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F連結(jié)OF，則OFAM，在RtAOF中，MAN30，OFOA2（x2），x2，當(dāng)x2時(shí)，O與AM相切（2）在圖（2）中，過(guò)點(diǎn)O作OHBC于H當(dāng)BOC90時(shí)，BOC是等腰直角三角形，BC2，OHBC，BHCH，OHBC在RtAHO中，A30，OHOA，（x2），x22當(dāng)x22時(shí)，O與AM相交于B，C兩點(diǎn)，且BOC90【點(diǎn)評(píng)】解答這類問題往往是把結(jié)論反過(guò)來(lái)當(dāng)條件用，本例利用了圓的切線性質(zhì)和垂徑定理，構(gòu)造特殊直角三角形，使問題得以求解（二）、結(jié)論開放例1（05湖南湘潭）如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，D為垂足由以上兩個(gè)條件可得_(寫出一個(gè)結(jié)論)解：12或BDDC或ABDACD等例2（04徐州）如圖，Ol與O2相交于點(diǎn)A、B，順次連結(jié)0l、A、02、B四點(diǎn)，得四邊形01A02B （1）根據(jù)我們學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形性質(zhì)時(shí)所獲得的經(jīng)驗(yàn)，探求圖中的四邊形有哪 些性質(zhì)?(用文字語(yǔ)言寫出4條性質(zhì))性質(zhì)1_； 性質(zhì)2_；性質(zhì)3_；性質(zhì)4_（2）設(shè)O1的半徑為尺，O2的半徑為r(Rr)，0l，02的距離為d當(dāng)d變化時(shí)， 四邊形01A02B的形狀也會(huì)發(fā)生變化要使四邊形01A02B是凸四邊形(把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線同一旁的四邊形)則d的取值范圍是_解：（1）是開放性問題，答案有許多，如：性質(zhì)1：相交兩圓連心線垂直公共弦；性質(zhì)2：相交兩圓連心線平分公共弦；性質(zhì)3：線段01A線段01B；性質(zhì)4：線段02B線段02A；性質(zhì)5：01A0201B02；等等（2）實(shí)質(zhì)是相交兩圓的d與Rr的關(guān)系，應(yīng)為RrdRr例3（06莆田市）已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上任一位置（如圖所示）時(shí)，易證得結(jié)論：PA2PC2PB2PD2，請(qǐng)你探究：當(dāng)P點(diǎn)分別在圖、圖中的位置時(shí)，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖證明你的結(jié)論 答：對(duì)圖的探究結(jié)論為_對(duì)圖的探究結(jié)論為_ 證明：如圖2 結(jié)論均是：PA2PC2PB2PD2 證明：如圖過(guò)點(diǎn)P作MNAD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N ADBC，MNAD，MNBC 在RtAMP中，PA2PM2MA2 在RtBNP中，PB2PN2BN2 在RtDMP中，PD2DM2PM2 在RtCNP中，PC2PN2NC2 PA2PC2PM2MA2PN2NC2 PB2PD2PM2DM2BN2PN2 MNAD，MNNC，DCBC 四邊形MNCD是矩形 MDNC 同理 AMBN PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2 即PA2PC2PB2PD2 【評(píng)析】本題也是一道結(jié)論開放題，通過(guò)閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結(jié)論，但是說(shuō)明理由時(shí)，有一定的難度正確作出輔助線，創(chuàng)造使用勾股的條件，是解決問題的關(guān)鍵（三）、綜合開放ADHFEGBC例1（05寧波）如圖，ABC中，ABAC，過(guò)點(diǎn)A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G.試在圖中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明解：BCFCBD. BHFCHD. BDACFA. (注意答案不唯一)證明BCFCBDABAC.ABCACB. BD、CF是角平分線.BCFACB，CBDABCBCFCBD. 又BCCB.BCFCBD例2（05江西?。┮阎獟佄锞€與軸的交點(diǎn)為A、B（B在A的右邊），與軸的交點(diǎn)為C（1）寫出時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，是否存在BOC為等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)任意的值都能成立的正確命題（說(shuō)明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分有差異）解：當(dāng)m1時(shí)，拋物線解析式為y1，可從對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、最值、增減性等多方面去寫出許多正確結(jié)論，任寫三個(gè)就可；（2）存在m2；（3）是結(jié)論開放題，答案有許多，如：拋物線y1與x軸總有交點(diǎn)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為1或函數(shù)最大值為1等例3（07福州市）如圖9，直線，連結(jié)，直線及線段把平面分成、四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)，構(gòu)成，三個(gè)角（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第部分時(shí)，求證：；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第部分時(shí)，是否成立（直接回答成立或不成立）？圖9（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在第部分時(shí)，全面探究，之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明解：（1）解法一：如圖91延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E ACBD ， PEA PBD APB PAE PEA ， APB PAC PBD 解法二：如圖92過(guò)點(diǎn)P作FPAC ， PAC APF . ACBD ， FPBD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如圖93， ACBD ， CAB ABD 180即 PAC PAB PBA PBD 180又APB PBA PAB 180， APB PAC PBD . （2）不成立. （3）(a)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是PBDPACAPB (b)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是PBD PAC APB 或PAC PBD APB 或 APB 0，PAC PBD（任寫一個(gè)即可）(c) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是PAC APB PBD 選擇(a) 證明：如圖94，連接PA，連接PB交AC于M ACBD ， PMC PBD 又PMC PAM APM ， PBD PAC APB 選擇(b) 證明：如圖95 點(diǎn)P在射線BA上，APB 0 ACBD ， PBD PAC PBD PAC APB或PAC PBDAPB或APB 0，PAC PBD. 選擇(c) 證明：如圖96，連接PA，連接PB交AC于F ACBD ， PFA PBD PAC APF PFA ， PAC APB PBD 三、知識(shí)鞏固訓(xùn)練1（05十堰）代數(shù)式的三個(gè)實(shí)際意義是：_2（05荊門市）多項(xiàng)式x2px12可分解為兩個(gè)一次因式的積，整數(shù)p的值是（寫出一個(gè)即可）3（05常德）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，對(duì)稱軸為直線x2，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)的拋物線的解析式_4（05紹興市）平移拋物線，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，寫出平移后拋物線的一個(gè)解析式_5（05海安）請(qǐng)給出一元二次方程_0的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根6（05資陽(yáng)）已知asin60，bcos45，c，d，從a、b、c、d這4個(gè)數(shù)中任意選取3個(gè)數(shù)求和；7（05資陽(yáng)）甲、乙兩同學(xué)開展“投球進(jìn)筐”比賽，雙方約定： 比賽分6局進(jìn)行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進(jìn)一次后該局便結(jié)束； 若一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進(jìn)，該局也結(jié)束； 計(jì)分規(guī)則如下：a. 得分為正數(shù)或0；b. 若8次都未投進(jìn)，該局得分為0；c. 投球次數(shù)越多，得分越低；d. 6局比賽的總得分高者獲勝 （1） 設(shè)某局比賽第n(n1，2，3，4，5，6，7，8)次將球投進(jìn)，請(qǐng)你按上述約定，用公式、表格或語(yǔ)言敘述等方式，為甲、乙兩位同學(xué)制定一個(gè)把n換算為得分M的計(jì)分方案；（2） 若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進(jìn)球時(shí)的投球次數(shù)，“”表示該局比賽8次投球都未進(jìn))：第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲54813乙82426根據(jù)上述計(jì)分規(guī)則和你制定的計(jì)分方案，確定兩人誰(shuí)在這次比賽中獲勝8. （2006年山東?。┤鐖D，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O給出下列三個(gè)條件： EBODCO；BEOCDO；BECD （1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明ABC是等腰三角形 9（2006年綿陽(yáng)市）在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過(guò)點(diǎn)B、D作BEPA、DFPA，垂足分別為E、F，如圖 （1）請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上（如圖），那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上呢（如圖）？請(qǐng)分別直接寫出結(jié)論； （2）請(qǐng)?jiān)冢?）中的三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)加以證明10（07甘肅省白銀等7市新課程）探究下表中的奧秘，并完成填空：一元二次方程兩個(gè)根二次三項(xiàng)式因式分解x22x10x11 ， x21x22x1（x1）（x1）x23x20x11 ， x22x23x2（x1）（x2）3x2x20x1， x213x2x22（x）（x1）2x25x20x1， x222x25x22（x）（x2）4x213x30x1_， x2_4x213x34（x_）（x_）將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫出來(lái)11（07甘肅省隴南市）在平面幾何中，我們可以證明：周長(zhǎng)一定的多邊形中，正多邊形面積最大使用上面的事實(shí)，解答下面的問題：用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的五根木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），求能夠圍成的三角形的最大面積12（07安徽省）按右圖所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求：（）新數(shù)據(jù)都在60100（含60和100）之間；（）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大（1）若y與x的關(guān)系是yxp(100x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p時(shí)，這種變換滿足上述兩個(gè)要求；【解】（2）若按關(guān)系式y(tǒng)a(xh)2k(a0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式（不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過(guò)程）【解】四、知識(shí)鞏固訓(xùn)練答案：1、（長(zhǎng)：mn、寬mn）；摩托車每輛m元，自行車每輛n元，m輛摩托車比n輛自行車貴多少錢