應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模

應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模報(bào)告提綱數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)哥德巴赫猜想漢字排版技術(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)中的純數(shù)學(xué)問(wèn)題和應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題小學(xué)的純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題：數(shù)與運(yùn)算規(guī)則。交換律、分配律，通分質(zhì)數(shù)與合數(shù)；無(wú)限循環(huán)小數(shù)；平行線；小學(xué)應(yīng)用性數(shù)學(xué)問(wèn)題: 現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用：買(mǎi)賣(mài)中的貨幣計(jì)算科學(xué)的應(yīng)用：路程、速度、時(shí)間的關(guān)系模擬的應(yīng)用：雞兔同籠純數(shù)學(xué)問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題之間的聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴(kuò)展以及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則，屬于純粹數(shù)學(xué)范圍，將這些規(guī)則和現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的如果說(shuō)，應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的，那么數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)也是永存的。只不過(guò)要“與時(shí)俱進(jìn)”，不斷改革而已。“誰(shuí)用的好，誰(shuí)就贏了”（姜伯駒語(yǔ)）。20 世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步是應(yīng)用，計(jì)算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之后，應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)進(jìn)展，是對(duì)一個(gè)個(gè)的具體問(wèn)題建立一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)模型。因此，用建立數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)加以詮釋?zhuān)歉母镄W(xué)應(yīng)用題教學(xué)的參照基點(diǎn)什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？1. 算術(shù)方法求解（包括一些簡(jiǎn)易代數(shù)的思考）；解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一些簡(jiǎn)易的代數(shù)思想。2. 用自然語(yǔ)言表達(dá)，即用文字?jǐn)⑹龅膯?wèn)題。西方有時(shí)把小學(xué)應(yīng)用題稱(chēng)作“文字題（word problem ）”，即用自然語(yǔ)言表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。文字題需要將自然語(yǔ)言文字翻譯為“數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的算式”，然后再用數(shù)學(xué)方法求解。什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？3. 具有比較復(fù)雜的情景。應(yīng)用題必須表達(dá)一種具體“情景”，無(wú)論是體現(xiàn)生活實(shí)際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動(dòng)的具體情境，不能是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。情境往往有一些特定的常識(shí)性規(guī)律，在解題時(shí)需要加以剖析和運(yùn)用。作為一種具有較高思維價(jià)值的問(wèn)題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境，應(yīng)當(dāng)具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進(jìn)新內(nèi)容時(shí)所呈現(xiàn)的簡(jiǎn)單情景。什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)建模是20 世紀(jì)下半葉，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。數(shù)學(xué)模型，一般地說(shuō)，乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的實(shí)際特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)內(nèi)容本身就是一種數(shù)學(xué)模型自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。加法是“合并”、“添加”等活動(dòng)的數(shù)學(xué)模型分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算。雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程；模式應(yīng)用：?jiǎn)枺耗銈儗W(xué)校每個(gè)年級(jí)幾個(gè)班？答：2個(gè)班；問(wèn)：每個(gè)班大約多少學(xué)生？答：40 人問(wèn)：你們學(xué)校一共有多少人？答：400 多人；問(wèn)：你們學(xué)校有沒(méi)有兩個(gè)人是同一天生日的？答：我們班里好像沒(méi)有的，我要到其他班問(wèn)一問(wèn)。數(shù)學(xué)老師：有，一定有。應(yīng)用題求解與數(shù)學(xué)模型比較應(yīng)用題求解：對(duì)于一種相對(duì)比較復(fù)雜的情境，采用形式化的符號(hào)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的步驟：了解情境分析數(shù)量關(guān)系形式化符號(hào)化的結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法求解結(jié)構(gòu)中的未知數(shù)驗(yàn)證。應(yīng)用題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價(jià)值，在于能將情境“數(shù)學(xué)化”；將文字的表述，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖像的表示；將蘊(yùn)藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式；用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過(guò)檢驗(yàn)肯定“解答”的適切性。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)，為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的“數(shù)學(xué)建?！?，做好必要的準(zhǔn)備美國(guó)式的折騰：“問(wèn)題解決”的提出美國(guó)數(shù)學(xué)教育界提出的所謂“問(wèn)題解決”，專(zhuān)指解決“非常規(guī)問(wèn)題”。目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認(rèn)知水平上，要解決非常規(guī)問(wèn)題，沒(méi)有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問(wèn)題求解模式可以模仿，需要獨(dú)立思考，通過(guò)自己的探索獲得解決問(wèn)題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。是一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號(hào)，并非針對(duì)應(yīng)用題改革而提出?！皢?wèn)題解決”的借鑒與啟示我國(guó)在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上，成績(jī)很好。例如用分?jǐn)?shù)求解一些現(xiàn)實(shí)生活中“平均分配物品”的問(wèn)題，加減乘除四則運(yùn)算的一步或兩步應(yīng)用題，掌握得也很不錯(cuò)。但是，在提出問(wèn)題，分析發(fā)展問(wèn)題，靈活地處理應(yīng)用性問(wèn)題上面，比起歐美諸國(guó)的教學(xué)，有一些弱點(diǎn)。在非常規(guī)的應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)上，我國(guó)積累了一些按照問(wèn)題情景分類(lèi)的教學(xué)。例如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題等等，有專(zhuān)門(mén)的訓(xùn)練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏。問(wèn)題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)是應(yīng)用題教學(xué)的上位概念。彼此是包含關(guān)系?！坝脝?wèn)題”的共性，取代了“應(yīng)用題”的特性問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)全局性理念；應(yīng)用題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的部分課題。問(wèn)題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué)問(wèn)題解決是針對(duì)“回到基礎(chǔ)”提出來(lái)的口號(hào)。意思是強(qiáng)調(diào)“探究”、“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”。美國(guó)又提出“成功需要基礎(chǔ)”，又強(qiáng)調(diào)其基礎(chǔ)了。所以，應(yīng)用題教學(xué)，不能只強(qiáng)調(diào)“探究創(chuàng)新”，還要注意“打好基礎(chǔ)”。沒(méi)有基礎(chǔ)怎么創(chuàng)新？應(yīng)用題的分類(lèi)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類(lèi)。1. 按數(shù)學(xué)模型分類(lèi)；隨機(jī)模型，統(tǒng)計(jì)模型；四則運(yùn)算模型；分?jǐn)?shù)、小數(shù)模型，一元一次方程模型；二元一次整數(shù)方程等等。2. 按情景熟悉程度分類(lèi)。如日常生活情景模型，模擬現(xiàn)實(shí)情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等3. 按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類(lèi)。如行程問(wèn)題，工程問(wèn)題，流水問(wèn)題，折扣問(wèn)題等等，應(yīng)用題的分類(lèi)與數(shù)量關(guān)系不是我們要不要分類(lèi)的主觀決定。數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類(lèi)是客觀世界不同數(shù)量關(guān)系的反應(yīng)。行程問(wèn)題路程= 速度時(shí)間工程問(wèn)題工作量= 工作時(shí)間 工作效率價(jià)格問(wèn)題總價(jià)格= 單價(jià) 數(shù)量利息問(wèn)題利息= 本金 利率利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)= 成本 利潤(rùn)率折扣問(wèn)題金額= 價(jià)格 折扣率百分?jǐn)?shù)問(wèn)題數(shù)量= 總量 百分比這些內(nèi)容不屬于數(shù)學(xué)范圍，但是數(shù)學(xué)課要教！緊密聯(lián)系學(xué)生的日常生活小學(xué)生的日常生活內(nèi)容十分有限。主要圍繞“買(mǎi)東西”活動(dòng)展開(kāi)。單價(jià)、總數(shù)，折扣，差額，比例“賣(mài)”的意識(shí)也很少。所以成本、利潤(rùn)、效率，都不是日常生活實(shí)際能夠接近的。國(guó)際上有一種“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”，實(shí)驗(yàn)失敗告終。不能除了超市，就是商場(chǎng)，需要拓展情境內(nèi)容。應(yīng)用題教學(xué)中，大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問(wèn)題中速度、時(shí)路程之間的關(guān)系，乃是物體運(yùn)動(dòng)的在物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實(shí)模型。比如雞兔同籠問(wèn)題，完全是一種假想的模擬情景。關(guān)于虛擬的“真實(shí)”兒童的思維情境，包括客觀現(xiàn)實(shí)反映和虛擬想象兩大部分。虛擬想象中有一部分成為“虛擬真實(shí)”。孫悟空，黑貓警長(zhǎng)，圣誕老人，白雪公主，魔法石，變形金剛。利用虛擬的真實(shí)：外星巨人的手印。過(guò)于真實(shí)，不利于教學(xué)。路程問(wèn)題：想象在一條直線上，自始至終一一種速度在奔跑。有這樣筆直的道路嗎？怎樣能夠使得起跑時(shí)速度和到終點(diǎn)的速度一樣？雞兔同籠好？還是三條腿凳子和四條腿椅子好？退位減法，被減數(shù)個(gè)位不夠減，向十位借一，有學(xué)生就很貼近生活地說(shuō)“十位不肯借怎么辦？”數(shù)學(xué)是需要抽象概括的。30 年代，小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問(wèn)題：“一共有100 個(gè)和尚和100 個(gè)饅頭。大和尚一人吃三個(gè)饅頭，小和尚三個(gè)人吃一個(gè)饅頭，問(wèn)各有大小和尚幾人”?，F(xiàn)在不見(jiàn)了，如果是因?yàn)椴荒苈?lián)系學(xué)生的實(shí)際，那太遺憾了。算術(shù)和代數(shù)算術(shù)中的基本對(duì)象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算等。算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運(yùn)算流程。代數(shù)中的基本對(duì)象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對(duì)象：符號(hào)。代數(shù)模型是方程或函數(shù)，包含未知數(shù)符號(hào)的等式關(guān)系或其他結(jié)構(gòu)。從算術(shù)向代數(shù)過(guò)渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段學(xué)生從“數(shù)的運(yùn)算”過(guò)渡到“式的運(yùn)算”，好象人發(fā)明了汽車(chē)那樣，運(yùn)行速度大幅提高。代數(shù)運(yùn)算的通性通法，取得了極高的思維效率，就像人不能每時(shí)每刻都在坐車(chē)，走路仍然是必須的、基本的。算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別算術(shù)思維和代數(shù)思維思考的方向不一樣。打個(gè)比方，如果未知數(shù)在對(duì)岸，那么算術(shù)方法，好象摸著石頭過(guò)河找到未知數(shù)，代數(shù)方法好象用繩索將對(duì)岸的未知數(shù)捆好拉過(guò)河來(lái)，二者的思考方向剛好相反。算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別很多數(shù)學(xué)家回憶自己的學(xué)習(xí)生涯，感覺(jué)到小學(xué)里用算術(shù)方法解決問(wèn)題培養(yǎng)了自己的能力，盡管這些問(wèn)題后來(lái)用代數(shù)變得簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)應(yīng)用題是否要集中教學(xué)？數(shù)學(xué)建模是一種特殊思維活動(dòng)，有特定內(nèi)容，需要單獨(dú)、集中學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)。一些基本的數(shù)學(xué)模型反映基本的數(shù)量關(guān)系，是學(xué)生發(fā)展的必要基礎(chǔ)。需要集中演練，形成技能。解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，需要將各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較。集中教學(xué)，避免分散割裂。處處都有，有時(shí)也容易變成處處都沒(méi)有。從不會(huì)到會(huì)，需要什么有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？可能的困難：不會(huì)轉(zhuǎn)化百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)？不會(huì)計(jì)算？不會(huì)列方程？不會(huì)分析數(shù)量關(guān)系？還是就是不會(huì)做怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)？有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？畫(huà)線段圖：畫(huà)草圖：怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)？有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？第一次這桶油20 第二次12 千克兩次一共這桶油1/2 這桶油20 12 這桶油1/2 怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)？有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？對(duì)應(yīng)關(guān)系：1 這桶油20 第一次取出1/2 兩次取出？第二次取出12 千克怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)？有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？列方程設(shè)這桶油為x千克；20 x12 1/2x 1/2x 20 x12 怎樣讓學(xué)生學(xué)會(huì)？有一桶油，第一次取出這桶油的20 ，第二次取出12 千克，兩次共取出這桶油的1/2 ，這桶油共多少千克？畫(huà)線段圖：畫(huà)草圖：對(duì)應(yīng)關(guān)系：方程；還有什么