高等數(shù)學(xué)25函數(shù)的微分.ppt

二、微分運(yùn)算法則,三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,第五節(jié),一、微分的概念,函數(shù)的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?,設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則,面積的增量為,關(guān)于x 的線性主部,故,當(dāng) x 在,取,變到,邊長(zhǎng)由,其,的微分,定義: 若函數(shù),在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,定理: 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,即,在點(diǎn),可微,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點(diǎn) 可微 ,則,故,在點(diǎn) 可導(dǎo),且,在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處可導(dǎo),且,即,定理 : 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處可導(dǎo),且,即,“充分性”,已知,即,在點(diǎn) 的可導(dǎo),則,說(shuō)明:,時(shí) ,所以,時(shí),很小時(shí), 有近似公式,與,是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng),故當(dāng),微分的幾何意義,當(dāng) 很小時(shí),則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,切線縱坐標(biāo)的增量,自變量的微分,記作,記,例如,基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表),又如,二、 微分運(yùn)算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,的微分為,微分形式不變,5. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),例1.,求,解:,例2. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例3. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說(shuō)明: 上述微分的問(wèn)題就是我們?cè)诓欢ǚe分要研究的內(nèi)容.,注意,數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.,注意:,注,數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性 , 例如,三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,當(dāng),很小時(shí),使用原則:,得近似等式:,特別當(dāng),很小時(shí),常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 計(jì)算,例6. 有一批半徑為1cm 的球 ,為了提高球面的光潔度,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,時(shí)體積的增量,因此每只球需用銅約為,( g ),用銅多少克 .,估計(jì)一下, 每只球需,要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm ,內(nèi)容小結(jié),1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可微,可導(dǎo),2. 微分運(yùn)算法則,微分形式不變性 :,( u 是自變量或中間變量 ),3. 微分的應(yīng)用,近似計(jì)算,估計(jì)誤差,思考與練習(xí),1. 設(shè)函數(shù),的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn),處的,及,并說(shuō)明其正負(fù) .,2.,5. 設(shè),由方程,確定,解:,方程兩邊求微分,得,當(dāng),時(shí),由上式得,求,則,作業(yè),P123 1 ; 3 (4) , (6) , (8) , (10) ; 4