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,二、 函數(shù)的間斷點,一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,第八節(jié),函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,第一章,可見 , 函數(shù),在點,一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,定義:,在,的某鄰域內(nèi)有定義 ,則稱函數(shù),(1),在點,即,(2) 極限,(3),設函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件:,存在 ;,且,有定義 ,存在 ;,continue,若,在某區(qū)間上每一點都連續(xù) ,則稱它在該區(qū)間上,連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,例如,在,上連續(xù) .,( 有理整函數(shù) ),又如, 有理分式函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù).,在閉區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù)的集合記作,只要,都有,對自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),當,時, 有,函數(shù),在點,連續(xù)有下列等價命題:,例. 證明函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,證:,即,這說明,在,內(nèi)連續(xù) .,同樣可證: 函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,在,在,二、 函數(shù)的間斷點,(1) 函數(shù),(2) 函數(shù),不存在;,(3) 函數(shù),存在 ,但,不連續(xù) :,設,在點,的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形,這樣的點,之一, 函數(shù) f (x) 在點,雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點 .,在,無定義 ;,間斷點分類:,第一類間斷點:,及,均存在 ,若,稱,若,稱,第二類間斷點:,及,中至少一個不存在 ,稱,若其中有一個為振蕩,稱,若其中有一個為,為可去間斷點 .,為跳躍間斷點 .,為無窮間斷點 .,為振蕩間斷點 .,為其無窮間斷點 .,為其振蕩間斷點 .,為可去間斷點 .,例如:,顯然,為其可去間斷點 .,(4),(5),為其跳躍間斷點 .,內(nèi)容小結,左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,左右極限至少有一個不存在,在點,間斷的類型,思考與練習,1. 討論函數(shù),x = 2 是第二類無窮間斷點 .,間斷點的類型.,2. 設,時,提示:,3. P65 題 3 , *8,為,連續(xù)函數(shù).,答案: x = 1 是第一類可去間斷點 ,P65 題*8 提示:,作業(yè) P65 4 ; 5,第

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