固體電子論基礎(chǔ).ppt

第五章 固體電子論基礎(chǔ),特魯特認(rèn)為:金屬中的價(jià)電子 電子氣體 同離子碰撞 達(dá)到熱平衡 電子移動(dòng) 電流 電導(dǎo),熱導(dǎo). 洛倫茲認(rèn)為:電子氣體服從麥克斯韋 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì). 經(jīng)典電子氣的理論計(jì)算結(jié)果: N個(gè)價(jià)電子,3N個(gè)自由度,總能量 ,只計(jì)算動(dòng)能 , . 經(jīng)典物理困難:試驗(yàn)值只有理論值的1%. 索末菲認(rèn)為:電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分布而遵守量子,統(tǒng)計(jì)分布Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì),從而計(jì)算出電子氣體 的 ,獲得了成功. 布洛赫和布里淵闡明了在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子 的基本特征,為能帶理論的建立奠定了基礎(chǔ). 近自由電子模型:自由電子+微擾 能帶 , 根據(jù)禁帶寬度的大小(金屬,絕緣體,半導(dǎo)體),5.1電子氣的能量狀態(tài),金屬中的價(jià)電子好比理想氣體,無(wú)相互作用. 取平均勢(shì)能為能量零點(diǎn), . 電子逸出體外相當(dāng)于在一定深度的勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子所具有的能量. 三維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子:,0,L,取箱內(nèi)勢(shì)能,其薛定諤狀態(tài)方程為:,兩邊同除 分離變量:,方程的解:,邊界條件:在勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)的電子.,只剩下正弦項(xiàng),余弦項(xiàng)為零. A為歸一化常數(shù),電子能量: 推廣到無(wú)限個(gè)線度都是L的勢(shì)阱 各個(gè)勢(shì)阱相應(yīng)位置波函數(shù)相等:,電子波函數(shù): 波函數(shù)歸一化: 電子能量:,電子動(dòng)量: 電子速度: 駐波: 電子的平均動(dòng)量,平均速度為零, 波矢在k空間,由一組量子數(shù) 表示. 為坐標(biāo)的空間稱為波矢空間也叫k空間. 每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)狀態(tài).,軸相鄰的兩個(gè)代表點(diǎn)間的間距為 ,沿 軸相鄰點(diǎn)的間隔也是 . 因而k空間每個(gè)狀態(tài)的代表點(diǎn)占有體積: K空間單位體積含有的狀態(tài)點(diǎn)數(shù)目: 平面波狀態(tài)波矢 由一組量子數(shù) 確定, K空間: 為坐標(biāo)軸的空間. 點(diǎn):每個(gè)許可的狀態(tài)可用一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表.,相鄰兩個(gè)代表點(diǎn)間距: 波矢空間每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積: K空間單位體積中含有狀態(tài)數(shù)目: 從 中含有的狀態(tài)數(shù): 每個(gè) 波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個(gè)電子,所以體積元中可容納的電子數(shù):,自由電子能量:,E,能級(jí)密度與能量關(guān)系， 能量越大， 也越大,.電子氣的費(fèi)米能量 Fermi energy of electron gas,電子氣體中的粒子：電子，e 滿足：泡利不相容原理（Paulis exclusion principle） 服從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)（Fermi-Dirac statistics） 電子處在能量為E狀態(tài)的幾率：,是費(fèi)米能量，或者化學(xué)勢(shì) 意義：體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需要的自由能 是溫度和電子數(shù)的函數(shù) 當(dāng) 意義：表示在費(fèi)米能級(jí) ,被電子填充的幾率和不被電子填充的幾率是相等的,費(fèi)米分布函數(shù)f(E)在不同溫度時(shí)的圖像. (1)T=0 k絕對(duì)溫度,(2) (3)溫度上升,函數(shù)f(E)發(fā)生大變化的能量范圍變寬,但在任何情況,此能量范圍約為 求費(fèi)米(Fermi)能級(jí) 根據(jù)能級(jí)密度:,和熱平衡時(shí),電子處于能量為E的狀態(tài)的幾率: 以及能量EE+dE之間的電子數(shù) (1)當(dāng):,令 代表系統(tǒng)電子濃度, 求 數(shù)值估計(jì),電子氣系統(tǒng)每個(gè)電子的平均動(dòng)能 (2) 每個(gè)電子的平均動(dòng)能, 的解釋:,即使在絕對(duì)零度,電子仍有相當(dāng)大的平均能量。根 據(jù)熱力學(xué)溫度是平均動(dòng)能的標(biāo)志,T=0時(shí),應(yīng)該有 , 但是根據(jù)泡利不相容原理,每個(gè)狀態(tài)只 能容納兩個(gè)自旋方向相反的電子,因此在絕對(duì)零度 不可能所有的電子都填在最低能態(tài). 當(dāng) 此時(shí)能量E大于 的能級(jí)可能有電子,能量小于,的能級(jí)可能是空的, 系統(tǒng)總電子數(shù)N. 第一項(xiàng): 所以, 令,此為奇函數(shù),此為偶函數(shù),求 的關(guān)系: 在絕對(duì)溫度時(shí)系統(tǒng)的總電子數(shù):,當(dāng)溫度升高時(shí), 比 小, 金屬的費(fèi)米能量:幾個(gè)幾十個(gè) eV 費(fèi)米溫度:,一般溫度下, 自由電子能級(jí): 當(dāng) 時(shí), 等能面的半徑為:,物理意義(1)在絕對(duì)零度T=0k時(shí),費(fèi)米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子所占據(jù),球外沒(méi)有電子. (2) 時(shí),費(fèi)米球面半徑 ,在 范圍內(nèi)能上的電子被激發(fā)到 之上約 的范圍的能級(jí).,5.3金屬中電子氣的熱容 The thermal capacity of electron gas in metal,洛倫茲自由電子論,N個(gè)自由電子,3N個(gè)自由度. 服從經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)規(guī)律: 試驗(yàn)結(jié)果，電子比熱只有這個(gè)數(shù)值的百分之一. 索末菲認(rèn)為:電子不遵守麥克斯韋-玻爾茲曼分 布,而是遵守費(fèi)米-狄拉克分布. 自由電子構(gòu)成電子氣,有N個(gè)自由電子.,每個(gè)電子平均能量:,:絕對(duì)零度每個(gè)電子平均能量.,每個(gè)的電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn): 這是費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的電子比熱結(jié)果.,只有費(fèi)米面附近 范圍的電子受熱激發(fā)才躍遷到較高的能級(jí). 每個(gè)電子的能量 之間的電子才能被激發(fā). 根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)f(E)曲線可知,電子的能量范圍約為 附近的 . 受激發(fā)的電子數(shù)(下頁(yè)),每個(gè)電子具有熱能 每個(gè)電子的平均能量是: 每個(gè)電子對(duì)熱容的貢獻(xiàn): 討論: (一)常溫:,說(shuō)明對(duì)增加系統(tǒng)熱能有貢獻(xiàn)的電子僅占總電子數(shù)的一小部分.所以通常溫度下,金屬的比熱服從杜隆-珀替定律. 為了與試驗(yàn)結(jié)果相比較,計(jì)算金屬?zèng)]摩爾中自由電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn): 每個(gè)原子有Z個(gè)自由電子(價(jià)電子),常溫晶格對(duì)熱容量貢獻(xiàn)為: 電子對(duì)比熱貢獻(xiàn)很小. 當(dāng) 電子氣與晶格振動(dòng)對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)之比:,只有當(dāng)溫度很低時(shí),才考慮電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn). 二.溫度甚低: 金屬的摩爾熱容是兩部分之和: 截距r,斜率為b.,5.4功函數(shù)和接觸勢(shì)差,一.功函數(shù): 電子在勢(shì)阱內(nèi),勢(shì)阱深度為 ,費(fèi)米能級(jí)為 電子離開(kāi)金屬至少需要從外界得到 ： 稱脫出功當(dāng)電子獲得能量 時(shí)，電子逸出金 屬，產(chǎn)生熱電子發(fā)射電流 發(fā)射電流密度 查孫杜師曼公式,二接觸電勢(shì)差： （）兩塊不同的金屬和接觸或用導(dǎo)線聯(lián)結(jié)會(huì)彼此帶電，產(chǎn)生不同的電勢(shì) （）推導(dǎo)接觸電勢(shì)差：,每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)： 每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)： 如果，金屬逸出的電子數(shù)比金屬 多，金屬帶正電，金屬帶負(fù)電 荷V10,V20.附加靜電勢(shì)能：e V1, e V2. 發(fā)射的電子數(shù)分別變?yōu)椋?平衡時(shí)： ，由此得： 所以接觸電勢(shì)差： 此式表明：接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的脫出功不同 脫出功表明：真空能級(jí)與費(fèi)米能級(jí)之差 所以，接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的費(fèi)米能級(jí)不一樣高,電子從費(fèi)米能級(jí)高的金屬流到費(fèi)米能級(jí)低的金屬 達(dá)到平衡時(shí)，兩塊金屬的費(fèi)米能級(jí)達(dá)到同一高度,.布洛赫波,晶體電子在規(guī)則排列的正離子勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性 一維周期勢(shì)場(chǎng)： 在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子必須滿足薛定諤方程： 布洛赫定理：,必定是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波，即可 以寫(xiě)為 此種形式的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù) 證明布洛赫定理： 平移算符：,V(x),H(x)有周期性，于是： 波函數(shù)不是周期函數(shù)，只滿足： 現(xiàn)在將平移算符作用在薛定諤方程： 由此可知，,晶體有N個(gè)原胞，線度為L(zhǎng)=Na,N個(gè)原胞的一維晶體就相當(dāng)于首尾相連接的一個(gè)圓環(huán),有,周期為a的一維晶格，倒格子的周期是 倒格子的坐標(biāo)： 平移算符對(duì)這兩個(gè)波函數(shù)有同樣的效果為了使K的取值范圍同算符的不同本征值一一對(duì)應(yīng)，把K的范圍限