《二階微分方程》PPT課件.pptVIP

1,5.3 二階微分方程,主要內(nèi)容 1.可降階的二階微分方程 2.二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,2,一、可降階的二階微分方程,這類(lèi)二階微分方程的特點(diǎn)是，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將二階微分方程化為一階微分方程，然后用前一節(jié)介紹的方法來(lái)求解,下面介紹三種可降階的二階微分方程的解法.,3,就得到一個(gè)一階微分方程，即,兩邊再積分，即連續(xù)積分兩次就能得到方程（1）的通解,只要連續(xù)積分n次，即可得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解,兩邊積分，得,4,例1,解,對(duì)所給的方程連續(xù)積分三次，得,這就是所求方程的通解,5,因而方程(3)就變?yōu)?這是一個(gè)關(guān)于變量 x , p 的一階微分方程，可以用前一節(jié)所介紹的方法求解,6,例2,解,這是關(guān)于 p 的一階線(xiàn)性非齊次微分方程因?yàn)?從而所求微分方程的通解為,于是,即,所以,7,例3,解,代入方程并分離變量后， 得,兩端積分，得,再積分，得,即,所以,于是所求的特解為,8,為了求出它的解，,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，,于是方程(4)就變?yōu)?這是一個(gè)關(guān)于變量 y , p 的一階微分方程 .,設(shè)它的通解為,分離變量并積分，得方程(4)的通解為,9,例4,解,方程不顯含自變量 x ，,代入方程，得,那么約去 p 并分離變量，得,兩端積分并進(jìn)行化簡(jiǎn)，得,再一次分離變量并積分，得,顯然它也滿(mǎn)足原方程,如果p0，,或,或,如果P = 0，,那么立刻可得 y = C，,所以方程的通解為,10,例5,解,兩邊積分，得,即為所求的滿(mǎn)足初始條件的特解,代入原式，得,即,或,積分后，得,代入上式整理后得,11,二、二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,定義,下面來(lái)討論二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法,方程(5)叫做二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,方程(5)叫做二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程.,12,1二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解,定理1,這個(gè)定理表明了線(xiàn)性齊次微分方程的解具有疊加性,疊加起來(lái)的解(7)從形式上看含有 與 兩個(gè)任意常數(shù)，但它還不一定是方程(6)的通解,13,那么在什么情況下(7)式才是(6)式的通解呢？,為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出函數(shù)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義：,因此，當(dāng) 時(shí)，,如果 不恒等于一個(gè)常數(shù)，,則 與 就是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,顯然，對(duì)于兩個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的函數(shù) 和 ，恒有,對(duì)于兩個(gè)都不恒等于零的函數(shù) 與 ，,那么把函數(shù) 與 叫做線(xiàn)性相關(guān)；否則就叫做線(xiàn)性無(wú)關(guān),如果存在一個(gè)常數(shù)C使 ，,14,二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(6)的通解結(jié)構(gòu)定理：,由此可知，求二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(6)的通解，,定理2,就是方程(6)的通解，其中 是任意常數(shù),關(guān)鍵在于求出方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解 和 ,而當(dāng) r 為常數(shù)時(shí)，指數(shù)函數(shù) 和它的各階導(dǎo)數(shù)都只相差一個(gè)常數(shù)因子,因此，我們可以設(shè)想二階常系數(shù)齊次方程式的特解也是一個(gè)指數(shù)函數(shù) ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解,如果函數(shù) 是常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(6)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，那么,15,反之，若r是方程(8)的一個(gè)根，,特征方程的根稱(chēng)為特征根,方程(8)是以 r為未知數(shù)的二次方程，我們把它稱(chēng)為微分方程(6)的特征方程，,這就是說(shuō)，如果函數(shù) 是方程(6)的解，那么 r 必須滿(mǎn)足方程(8),將 和它的一、二階導(dǎo)數(shù) 代入方程(6)，得到,因?yàn)椋?則 是方程(6)的一個(gè)特解,其中 和 r 的系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)恰好依次是微分方程(6)中 、 及 y 的系數(shù),16,特征根是一元二次方程的根，,因此它有三種不同的情況：,(1)特征根是兩個(gè)不相等的實(shí)根r1 r2 ，,且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，,因此方程(2)的通解為:,（9),(2)特征根是兩個(gè)相等的實(shí)根 r1= r2 ，,且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，,所以方程(6)的通解為：,（10）,(3)特征根是一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=i ，,這時(shí) 和 是方程(6)的兩個(gè)特解，,但這兩個(gè)解含有復(fù)數(shù)，,此時(shí)可以證明函數(shù) 和 也是方程(6)的解，,且它們線(xiàn)性無(wú)關(guān),17,例6,解,所給方程的特征方程為,其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解為,求 方程的通解,解得特征根為 ，,所以方程的通解為,18,例 7,解,為確定滿(mǎn)足初始條件的特解，對(duì) y 求導(dǎo)，得,求方程 的滿(mǎn)足初始條件 和 的特解,所給方程的特征方程為,所以特征根為,因此方程的通解為,將初始條件 和 代入以上兩式，得,解得,于是，原方程的特解為,19,例8,解,所以原方程的通解為,其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解為,求方程 的通解,特征方程為,特征根為,20,綜上所述，,兩個(gè)不相等的實(shí)根,兩個(gè)相等的實(shí)根,一對(duì)共軛復(fù)根,(3) 根據(jù)兩個(gè)特征根的不同情況，按照下表寫(xiě)出微分方程(6)的通解：,(2) 求出特征方程的兩個(gè)根 與 ；,(1) 寫(xiě)出方程對(duì)應(yīng)的特征方程 ；,21,三、二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的通解,定理3,Y是與方程（5）對(duì)應(yīng)的齊次方程（6）的通解，那么,由這個(gè)定理可知：求二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的通解，歸結(jié)為求對(duì)應(yīng)的齊次方程,22,它的一個(gè)特解也是一個(gè)多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，,下面討論求二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的一個(gè)特解 的方法我們只討論 f(x) 以下兩種情形：,k是一個(gè)整數(shù),其中 是一個(gè)與 有相同次數(shù)的多項(xiàng)式；,當(dāng) 不是特征根時(shí)，k = 0 ;,當(dāng) 是特征根，但不是重根時(shí)，k = 1 ;,當(dāng) 是特征根，且為重根時(shí)，k = 2.,23,例9,解,求方程 的通解,該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程是,它的特征方程為,特征根是重根,于是得到齊次方程 的通解為,原方程中,其中 是一個(gè)一次多項(xiàng)式，,是特征方程的重根因此 k = 2 ,所以設(shè)原方程的特解為,24,代入原方程，化簡(jiǎn)得,比較等式兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，有,因此，原方程的特解為,于是原方程的通解為,求 的導(dǎo)數(shù)，得,解得 ,25,它的一個(gè)特解的形式為,注意：當(dāng)二階微分方程的特征方程有復(fù)數(shù)根時(shí)，決不會(huì)出現(xiàn)重根，所以在這里與前一種情形不一樣，k不可能等于2,當(dāng) 不是特征根時(shí)，,當(dāng) 是特征根時(shí)，k = 1.,26,例10,解,所以可設(shè)方程的特解為,求導(dǎo)數(shù)，得,代入原方程，得,比較上式兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得,于是，原方程的特解為,求方程 的一個(gè)特解.,