電磁場(chǎng)與電磁波第4講梯度散度散度定理-2.ppt

Field and Wave Electromagnetic 電磁場(chǎng)與電磁波,2014. 3. 3,2,Review,1. Transform of Coordinate Systems,2. Integrals Containing Vector Functions,3,Main topic,1. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,2. 矢量場(chǎng)的散度,3. 散度定理,4,1. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,現(xiàn)在介紹在給定時(shí)間情況下描述標(biāo)量場(chǎng)的空間變化率的方法. 在不同方向上的變化率可能不同,所以需要一個(gè)矢量來定義給定點(diǎn)和給定時(shí)間上標(biāo)量場(chǎng)的變化率,由此引入梯度的概念.,5,方向?qū)?shù),標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。,6,1) Directional derivative dv/dl,2) Gradient (dv/dn)an,標(biāo)量的梯度定義為一矢量,其大小為標(biāo)量的空間最大變化率,其方向?yàn)闃?biāo)量增加率最大的方向.,7,We write,customary,沿 dl 的方向?qū)?shù)為:,上式表明 V 在 al 方向上的空間增長(zhǎng)率等于 V 的梯度在該方向上的投影(分量).,8,3) The expression of gradient V in coordinates,9,In Cartesian coordinates,It is convenient to consider in Cartesian coordinates as a vector differential operator.,But this is not definition in other coordinate.,10,球坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)系,梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則：,C為常數(shù),11,Example 2-16(P45),12,例 3,設(shè)標(biāo)量 =xy2+yz3, 矢量,試求標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)。,解 已知梯度,那么，在點(diǎn)（2，-1，1）處的梯度為,因此，標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)為,13,例,場(chǎng)點(diǎn) P (x, y, z),y,計(jì)算,解,同理可得,14,2. 矢量場(chǎng)的散度,通量線或流線來描述,Vector field,電力線,the flux of a vector,15,如： 真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0之比：,高斯定理,閉合曲面內(nèi)的電量為正、負(fù)、零時(shí)的通量,根據(jù)矢量通過某一閉合面的通量性質(zhì)可以判斷閉合曲面中源的正負(fù)特性，以及存在與否。,通量?jī)H能表示閉合曲面中源的總量，它不能顯示源的分布特性，如何顯示源的特性呢？,16,1) 散度(Divergence),矢量場(chǎng) A 中某點(diǎn)的散度定義為包圍該點(diǎn)的體積趨于零時(shí),單位體積中流出A 的凈流散通量,縮寫為div A:,The numerator, representing the net outward flux, is an integral over the entire surface S that bounds the volume. Equation is the general definition of div A which is a scalar quantity whose magnitude may vary from point to point as A itself varies. The definition holds for any coordinate system.,17,源 and 匯,the net outward flow,18,2)The expression of divergence A in coordinates,直角坐標(biāo)系,19,柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,散度運(yùn)算規(guī)則,20,Example 2-17(P49-50),21,3. 散度定理(Divergence Theorem),矢量場(chǎng)的散度定義為每單位體積流出的凈通量. 直觀地認(rèn)為矢量場(chǎng)的散度的體積分等于該矢量包圍該體積封閉面流出的總通量,即:,This identity is called the divergence theorem. It applies(適用) to any volume V that is bounded by surface S. The direction of dS is always that of the outward normal, perpendicular to the surface dS and directed away from the volume.,22,Example 2-19(P52),23,24,例 已知,判斷散度定理是否適用于圖中所示的殼層區(qū)域。殼層的封閉面是以原點(diǎn)為中心而半徑分別為R=R1和R=R2（R2R1）的兩個(gè)球面。,解,在外表面上：,在內(nèi)表面上：,25,summary,1. Gradient of a Scalar Field,2. Divergen