矩陣的運(yùn)算及與矩陣的秩ppt課件

第二章 矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩,本章要點(diǎn)流程:,首先介紹矩陣的基本運(yùn)算,進(jìn)一步了解分塊矩陣,重點(diǎn)學(xué)習(xí)可逆矩陣,最后對齊次線性方程組解的作了討論,認(rèn)識矩陣的秩,2.1 矩陣的基本運(yùn)算,一、矩陣的線性運(yùn)算 定義2.1 設(shè) 都是 矩陣， 為給定的數(shù) （1）稱矩陣 為矩陣A與B相加的 和，記作A+B； （2）稱矩陣 為數(shù) 與矩陣A相乘 的積，記作 ,稱為數(shù)量矩陣,稱矩陣 為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A利用 負(fù)矩陣及矩陣的加法，定義矩陣的減法為,同型矩陣 矩陣的線性運(yùn)算滿足以下規(guī)律（設(shè)為A ,B,C同型矩陣）：,1) A+B=B+A 2) (A+B)+C=A+(B+C), (ks)A=k(sA)=s(kA) 3) k(A+B)=kA+kB ,(k+s)A=kA+sA,矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素乘積之和。,定義2.2 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，那么稱 矩陣 為矩陣A與B的乘積，記作 ， 其中 由這個定義可知： 1）如果矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，則A與B可以相乘。,2）矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)。 3）乘積C的第i行第j列的元素Cij等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素乘積之和。,1) 結(jié)合律 (AB)C=A(BC) 2) 數(shù)乘結(jié)合律 k(AB)=(kA)B=A(kB) 3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC； 右分配律 (B+C)A=BA+CA，其中k 是數(shù)。,矩陣乘法滿足的算律：,由于矩陣乘法不滿足交換律，對于兩個同階方陣A，B而言， 一般說來,方陣的冪,方陣的冪：設(shè)A是n階方陣，k是自然數(shù)，k個A連乘稱為A的k次冪，記作 ，即,其中k,m為正整數(shù),相關(guān)結(jié)論：,矩陣的多項(xiàng)式 ： 為n階方陣A的m次多項(xiàng)式,例:設(shè) ， 分別計算(AB)2與A2B2,例: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n為任意自然數(shù)）,線性方程組的矩陣表示,系數(shù)矩陣：,2矩陣與初等矩陣的乘積,例如：計算下列矩陣與初等陣的乘積,即： E(i,j)A：相當(dāng)于交換A的第i行與第j行； E(i(k)A：相當(dāng)于用非零數(shù)k 乘矩陣A的第i行； E(i,j(k)A：相當(dāng)于A的第j行乘k加到第i行上；,同理： 即： AE(i,j)：相當(dāng)于交換A的第i列與第j列； AE(i(k)：相當(dāng)于用非零數(shù)k 乘矩陣A的第i列； AE(i,j(k)：相當(dāng)于A的第i列乘k加到第j列上,推論：若mxn矩陣A與B等價，則存在若干個mxm初等矩陣Pi(i=1,2-,s)和若干個nxn初等矩陣Qj(j=1,2-,t)使得,三、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義：,2、相關(guān)性質(zhì) ：,根據(jù)矩陣相等的定義，容易得到下列結(jié)論：,為對稱陣的充要條件是 為反對稱陣的充要條件是 反對稱陣的主對角線上的元素,2.2 分塊矩陣,一、分塊矩陣的概念 矩陣的分塊就是將矩陣A用若干縱線和橫線分成幾個小矩陣，每一小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣，稱為分塊矩陣。 =,二、分塊矩陣的運(yùn)算,1分塊矩陣相加、減 設(shè)A、B是兩個用相同方法分塊的同型矩陣,2.數(shù)與分塊矩陣相乘 設(shè) 是一個實(shí)數(shù)，,3分塊矩陣相乘,其中 ，且,相乘的條件： (1) A分出的列子塊數(shù)B分出的行子塊數(shù) (2) A中每一個子塊的列數(shù)B 中相應(yīng)的子 塊的行數(shù),分塊對角陣乘法： 其中Ai、Bi是同階子方陣，則,4分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè),例 設(shè),2.3 可逆矩陣,一、可逆矩陣的概念,注： (1)若矩陣A可逆，則其逆矩陣唯一。 (2)A與B的地位是平等，即當(dāng)B是A的逆矩陣時，則A也是B的逆矩陣，或稱互逆。 (3)并非每個方陣都可逆。,另外： 若方程組AX=B的系數(shù)矩陣A可逆，方程組兩邊左乘A-1，得X= A-1 B由逆矩陣的唯一性可知， X= A-1 B為方程組的唯一解 任何初等矩陣都是可逆的，并且其逆矩陣仍是初等矩陣,定理2.2 設(shè)A,B都是n階方陣，B是可逆矩陣，則A可逆的充要條件是AB可逆 推論1 若A和B是等價的方陣，則它們的可逆性相同,二、可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系,引理 任意一個矩陣 ，都與形 如 的矩陣等價即存在若干個m階初等矩 陣Pi（i=1,2-,s）和n階初等矩陣Qj（j=1,2-,t），使得,定理2.3 n階方陣A可逆的充要條件是A與單位陣等價，即：存在若干個初等矩陣P1,P2,-Pl，使得 推論 mn矩陣A與B等價的充要條件是存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得PAQ=B,強(qiáng)調(diào)：變換中只能用行變換，不能用列變換。,2.4 矩陣的秩,一、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 定理2.4 對任意矩陣 都有唯一確定的矩 陣 Er= 與矩陣A等價，以后稱 Er 為A的標(biāo)準(zhǔn)形。,二、矩陣的秩 定義2.6 非零矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形中元素“1”的個數(shù)稱為矩陣A的，記為R（A），或秩（A） 另外約定，零矩陣的秩為0 行滿秩矩陣； 列滿秩矩陣； 滿秩矩陣,定理2.5 設(shè)A，B為同型矩陣，則下列命題等價： (1) (2)A,B有相同的標(biāo)準(zhǔn)形 (3)AB 推論1 n階方陣A可逆的充要條件是A 為滿秩矩陣 推論2 設(shè)P,Q都是滿秩矩陣，則,例 求證：對任意的矩陣A，都有,2.5 齊次線性方程組解的討論,1若 ，,這時上述方程組有無窮多個解 2若 ，這時的形式為 或 這時上述方程組只有零解,定理2.6 對于齊次線性方程組(2.5)，有以下結(jié)論： （1）若R(A）=rn，則方程組有 n-r 個自由未知量，從而有無窮多個解，因此有非零解； （2）若R(A）=r=n ，則方程組只有零解 推論 若齊次線性方程組的方程個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則該方程組必有無窮多個解，從而有非零解,例：求如下齊次線性方程組的解.,取自由未知量 x3，x5,2.6 應(yīng)用舉例,一、密碼問題 某種明碼電報的編碼是用四個阿拉伯?dāng)?shù)字表示一個漢字 比如，原文是“十七時進(jìn)攻”的明碼是,這組數(shù)字構(gòu)成的矩陣為 借助于一個加密矩陣,原文 Y YA(=T) 電文 電文 T TA-1(=Y) 原文,二、計算機(jī)平面圖形的變形,比如字母可認(rèn)為是由十個點(diǎn)確定的圖形這些點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成一個,的數(shù)據(jù)矩陣,比如取,，則, 根據(jù)這些數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)就可繪出變形后的字母的圖形,第二章 小結(jié),一、教學(xué)要求 1、理解各類矩陣的定義，如可逆矩陣、