《微分方程實驗》PPT課件.ppt

數(shù)學(xué)實驗,Experiments in Mathematics,微 分 方 程,實驗?zāi)康?實驗內(nèi)容,MATLAB,2、學(xué)會用Matlab求微分方程的數(shù)值解.,實驗軟件,1、學(xué)會用Matlab求簡單微分方程的解析解.,1、求簡單微分方程的解析解.,4、實驗作業(yè).,2、求微分方程的數(shù)值解.,3、 數(shù)學(xué)建模實例,求微分方程的數(shù)值解,（一）常微分方程數(shù)值解的定義,（二）建立數(shù)值解法的一些途徑,（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,返 回,1、目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題,2、目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗,3、地中海鯊魚問題,返 回,數(shù)學(xué)建模實例,微分方程的解析解,To Matlab（ff1）,結(jié) 果：u = tg(t-c),解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）,To Matlab（ff2）,解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡 y=simple(y) z=simple(z),結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To Matlab（ff3）,返 回,微分方程的數(shù)值解,（一）常微分方程數(shù)值解的定義,在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。,因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。,返 回,（二）建立數(shù)值解法的一些途徑,1、用差商代替導(dǎo)數(shù),若步長h較小，則有,故有公式：,此即歐拉法。,2、使用數(shù)值積分,對方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：,實際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：,此即改進的歐拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。,4、數(shù)值公式的精度,當(dāng)一個數(shù)值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式。,k越大，則數(shù)值公式的精度越高。,歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式。 龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。 線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內(nèi)插公式。,返 回,（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.,2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，輸入命令